Ingénieur 2A

Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation et séries de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.

F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"

Appendice "Intégration sur les surfaces"

La théorie de Galois est née au XIX ème siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynômiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.

L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables.

Au delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).

* les pré-requis :
Algèbre linéaire classique enseigné en classes préparatoires ou pendant deux premières années d'université.

* les acquis attendus en fin de module
Acquis théoriques :

- Connaissance des structures fondamentales de l'algèbre générale.
- Compréhension des concepts fondamentaux de la théorie de Galois (extensions galoisiennes, groupes de Galois)
- Maîtrise des exemples les plus importants (corps finis, extensions cyclotomiques, extensions résolubles).
- Maîtrise des principales applications historiques (résolubilité des équations polynômiales, constructibilité des polygônes réguliers).

Acquis pratiques :

- Manipulation des structures algébriques fondamentales, calcul de degrés d'extensions.
- Détermination du caractère galoisien d'une extension.
- Calcul de groupes de Galois, notamment par réduction modulo p.
- Applications de la théorie, notamment en théorie des nombres et des corps.

* les modalités d'évaluations des acquis du module

Sont envisagés :

- un contrôle classant en fin du cours,

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Galois theory emerged in XIX century to study the existence of formulas for solutions of polynomial equation (in terms of the coefficients of the equation). The theory is both powerful and elegant and was the origin of a very large part of modern algebra. Nowadays it is also a very active research field.

The aim of this course is first to introduce basics and tools of general algebra (groups, rings, algebras, quotients, field extensions...) which will allow in the second part of the course to develop Galois theory, as well as some of its most remarkable applications.

Beyond the the interest on the subject for itself, the course aims at being a good introduction to algebra and its applications, in Mathematics and in other fields (for instance Computer science with finite fields, Physics and Chemistry with group theory).

*Prerequisites

Standard linear algebra from the first two years at University.

* Knowledge expected at the end of the course : 

Theoretical knowledge :

- Knowledge of fundamental structures in general algebra.

- Knowledge of fundamental concepts in Galois theory (Galois extensions, Galois group)

- Most important examples (finite fields, cyclotomic extensions solvable extensions).

- Main historical applications (solvable polynomial equations, constructability of regular polygons).

Practical knowledge :

- Handling of fundamental algebraic structures, computation of degrees of extensions.

- Characterization of Galois extensions.

- Computation of Galois groups, method of reduction modulo p.

- Applications of the theory, in particular to number theory and fields theory

* Evaluation : exam at the end of the course.

Language  : French

Ce cours constitue un cours de base en analyse fonctionnelle avec, en ligne de mire, l'étude des equations aux dérivées partielles  et l'études des algèbres d'opérateurs.

Le cadre est celui des espaces de Banach dont nous explorerons les aspects géométriques et analytiques. Les outils de topologie nécesaires pour aborder l'étude des topologies faibles qui sont plus générales que celles engendrées par des normes seront introduits. Les interactions entre les considérations géométriques, et notamment la convexité, et analytiques appraitront tout au long du cours.