MAT471A - Modal - Combinatoire et géométrie (2022-2023)

- Spectre du laplacien, formules des traces et géométrie

- Une formule des traces relie les propriétés géométriques d’un espace à la répartition des valeurs propres du laplacien agissant sur les fonctions qui y sont définies. Les prototypes sont la formule sommatoire de Poisson et celle découverte par Selberg, qui en donne une généralisation. Cette dernière concerne la répartition des longueurs des géodésiques fermées dans une surface hyperbolique et a comme conséquence le théorème des géodésiques premières en théorie des nombres, l’analogue géométrique du théorème des nombres premiers.

 

A travers des incarnations multiples de telles identités et en mettant l’accent sur les aspects géométriques de la théorie spectrale, le modal fournit une introduction aux mathématiques de l'opérateur Laplacien, à la géométrie et ses liens avec d’autres domaines des mathématiques tels que l’analyse, la théorie des nombres et la combinatoire. Les deux thèmes centraux sont la géométrie hyperbolique et la géométrie tropicale.

 

Références :

 

- Nicolas Bergeron, The Spectrum of Hyperbolic Surfaces. Universitext, Springer.

 

- Peter Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces. Birkhauser.

 

- Fan Chung, Spectral Graph Theory. Regional Conference Series in Mathematics 92, AMS.

 

- Giuliana Davidoff, Peter Sarnak, Alain Valette, Elementary Number Theory, Group Theory and Ramanujan Graphs. London Mathematical Society Student Texts 55.

 

- Géométrie tropicale. Journées mathématiques X-UPS 2008, Ecole Polytechnique. Editeurs Pascale Harinck, Alain Plagne, Claude Sabbah.