Ingénieur 2A

Cet enseignement a trois objectifs:

Le premier objectif est d'introduire les outils de statistique mathématique et d'apprentissage statistique ("machine learning"). Nous décrirons toutes  depuis le choix d'un modèle statistique, l'estimation des paramètres et l'inférence et le choix de modèles. Nous apprendrons à construire des estimateurs, des tests, des règles de classification, à évaluer les performances de ces règles. Nous introduirons un certain nombre d'outils théoriques - théorie de la décision, processus empirique-.

Le deuxième objectif est de décrire, dans le cours et dans les petites classes, des exemples concrets de modélisation dans divers domaines (traitement du signal et des images, économétrie, sciences de l'environnement, classification de formes etc.).

Le troisième objectif est de développer un savoir-faire pratique fondé  permettant de comprendre la façon dont  les outils théoriques peuvent être mis en oeuvre dans des applications concrètes (utilisation de R ou de Python).

Les deux derniers cours seront consacrés à une introduction à l'apprentissage statistique.

Modalités d'évaluation : Contrôle de connaissances (écrit), deux DM, deux quizzes

Les équations aux dérivées partielles jouent un rôle fondamental en modélisation de phénomènes complexes dans des domaines aussi variés que la mécanique, la physique ou la biologie. Depuis les années 50 et l'avènement des ordinateurs, le développement et l'utilisation de méthodes numériques permettant le calcul approché sur machine de solutions d'équations aux dérivées partielles sont devenus routiniers dans l'art de l'ingénieur. En mécanique automobile par exemple, les déformations de l'habitacle en cas de choc, mais aussi la climatisation, le bruit ambiant, ou la compatibilité électromagnétique sont, de nos jours, calculés par ordinateur.

Le cours vise à mettre en évidence le lien entre les modèles classiques en mécaniques ou physiques à base d'équations aux dérivées partielles, l'analyse mathématique sous-jacente, et le développement de la méthode des éléments finis. Le fil conducteur se fera par le point de vue variationnel qui permet de réécrire les problèmes sous la forme de problèmes de minimisation, faisant le lien avec l'optimisation. Une part assez importante sera consacrée à la mise en oeuvre sur machine de la méthode des éléments finis et à la résolution approchée explicite de certaines équations aux dérivées partielles à l'aide du logiciel FreeFem++. Il sera, en particulier, demandé de réaliser un mini-projet mettant en oeuvre ce logiciel.

Par ailleurs une partie des PC illustrera sur ordinateur les concepts vus en cours.


Modalités d'évaluation : Un examen écrit, une interrogation et un miniprojet obligatoire.

Initiation aux Mathématiques Appliquées par la démarche expérimentale

L'objet de ce projet est de proposer des méthodes pour résoudre les problèmes d'optimisation qui en résultent, d'implémenter ces méthodes et de les tester.

Sujet 1 (Frédéric Meunier) : On considère un entrepôt automatisé, avec deux ascenseurs partageant une même rampe, comme celui étudié par Carlo et Vis (2012). Des requêtes de stockage ou de récupération arrivent au fil de l’eau, suivant un processus de Poisson. Quelle politique utiliser pour minimiser le délai moyen de satisfaction d’une requête ? Ce projet vise à proposer des algorithmes pour répondre à cette question et à les évaluer par simulation.

Sujet 2 (Frédéric Meunier) :L'organisation d'une chaîne de production en  "Bucket Brigades" permet d'assurer une grande flexibilité, tout en assurant un taux de production souvent proche de l'optimal. Dans le cas à deux employés, le comportement dans le temps long de la chaîne a été décrit de manière quasi-complète par Gurumoorthy, Banerjee et Paul (2009). Ce projet vise à explorer de manière expérimentale le comportement dans le temps long du cas à trois employés et si possible à formuler certaines conjectures.

Sujet 3 (Eric Gourdin) : on s’intéresse au routage dans les réseaux Internet, que l’on cherchera, dans un premier temps à simuler, puis, dans un deuxième temps, à optimiser. Le réseau est modélisé par un graphe dont les liens (arêtes/arcs) sont munis de capacités. On dispose également d’un ensemble de demandes, chaque demande étant définie par un nœud source, un nœud destination et un volume de trafic à écouler. On suppose que le réseau utilise un protocole de routage basé sur les plus-court-chemins : une valeur de métrique administrative (supposée donnée) est associée à chaque lien et le trafic entre le nœud source et le nœud destination est écoulé sur les plus-court-chemins (au sens de ces métriques administratives).  S’il y a plusieurs plus-court-chemin, le trafic est réparti sur les chemins conformément au protocole ECMP. La charge d’un lien est le ratio entre le trafic écoulé et la capacité. On mesure la « qualité » du routage en calculant la charge du lien le plus chargé. On s’intéressera à une évolution des protocoles de routage appelé « Segment Routing » où une demande peut être routée sur une suite de segments, le routage au sein de chaque segment étant lui-même régi par les plus-court-chemins.

Sujet 4 (Eric Gourdin) : dans un réseau Internet, on cherche à calculer un routage « robuste » appelé « oblivious routing ». Le contexte général est similaire à celui du sujet précédent : un graphe avec des liens muni de capacités, un ensemble de demandes à écouler. Contrairement au sujet précédent, le routage à calculer est totalement libre (on peut fractionner le trafic sur autant de chemins qu’on veut du moment qu’on satisfait toujours la conservation des flots sur chaque sommet intermédiaire). On suppose ici que les volumes des demandes ne sont pas connus. On cherche un routage valide pour tous les ensembles de demandes possibles et tel que le maximum sur tous les ensembles de demandes du ratio entre la charge max avec ce routage unique avec le ratio obtenu avec un routage qui serait optimisé pour cet ensemble de demande soit aussi petit que possible (oblivious routing). Le modal consiste à proposer des façons de calculer (ou d’approcher) ce routage dit « oblivious ».