La théorie des matrices aléatoires s'attache à l'étude de la distribution des valeurs propres et des vecteurs propres de matrices dont les coefficients sont aléatoires, et pour lesquels il existe un certain nombre de distributions classiques. Cette étude était à l'origine motivée par des applications à la physique (modélisation du spectre d'émission des atomes lourds); elle dispose aujourd'hui d'un corpus théorique très vaste et de multiples liens avec d'autres domaines, mathématiques (théorie des nombres, cartes aléatoires, équations aux dérivées partielles...), physique (théorie de la dispersion), ainsi que des applications aux neurosciences, à l'écologie théorique, et plus récemment à l'intelligence artificielle.
Cet E.A. propose un tour d'horizon des modèles et des théorèmes emblématiques de la théorie des matrices aléatoires. Y seront notamment traités :
- la loi du semi-cercle de Wigner pour les valeurs propres d'une matrice aléatoire hermitienne ;
- la loi circulaire de Girko pour les valeurs propres d'une matrice aux entrées i.i.d. ;
- les lois de Tracy-Widom et de Gumbel pour les fluctuations de la plus grande valeur propre ;
- la distribution du polynôme caractéristique d'une matrice aléatoire unitaire.
L'EA consiste en un cours de 2h par semaine.
En parallèle à l'enseignement, les élèves préparent un projet bibliographique sur un sujet de leur choix, donnant lieu à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale en fin de période. Ces projets pourront concerner des aspects aussi bien théoriques qu'appliqués des matrices aléatoires. À titre d'exemple :
- Les trajectoires des valeurs propres d'une matrice soumise à une perturbation de faible rang ;
- La distribution des vecteurs propres dans les modèles non-hermitiens ;
- Les liens combinatoires entre matrices aléatoires, cartes aléatoires et permutations aléatoires ;
- L'étude de matrices aléatoires pour des modèles plus exotiques que ceux traités en cours (par exemple, sur le corps des quaternions ou sur les corps p-adiques) ;
- L'utilisation des matrices aléatoires en écologie théorique (notamment les questions liées au paradigme "complexité vs. stabilité");
- Les liens avec la théorie des nombres et la fonction zeta de Riemann ;
- les diverses applications des matrices aléatoires à l'étude des réseaux de neurones, réels ou artificiels.
Numerus clausus : 10.
Niveau requis: Des bases solides en algèbre linéaire et en théorie des probabilités aideront à la compréhension des concepts abordés.
Bibliographie indicative
- M.L. Mehta, Random Matrices
- G.W. Anderson, A. Guionnet, O. Zeitouni, An introduction to random matrices
Ces deux ouvrages sont des références incontournables du domaine. Par ailleurs, des articles de recherches plus récents seront indiqués pour accompagner l'étude de chaque chapitre du cours.
Langue du cours : français ou anglais selon la demande.
A Gaussian (Hilbert) space is a vectorial space composed of random variables built from centred Gaussian. They have a rich structure and compose the core of various probabilistic theories, like the stochatic integration (e.g. Itô integration). These spaces have a probabilistic but also analytic aspect throught Hibert space theory. there is a transcription of Gaussian space properties into Hilbert space properties and inversely, this gives at the original perpective of Gaussian spaces non-trivial impacts in analysis. There is also a between Gaussian spaces and objects of quantum field theory, for example Fock spaces.
In this EA, we will begin with some reviews of measure theory. We will then define and give the first Gaussian spaces to quickly reach the Wiener chaos decomposition theorem, and then to the Wick product. We will present the connection between Gaussian spaces and Hilbert symmetric products of spaces. Finally, we will cover applications of Gaussian space notion, like stochastic integration.
Required level
Elements of Hilbertian analysis and probality theory will help understanging the covered concepts
Bibliograph
Svante Janson "Gaussian Hilbert Spaces"
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Course language: French or English according the request
- Teaching coordinator: De Suzzoni Anne-Sophie