Les variétés différentielles sont des objets géométriques localement paramétrés par des systèmes de coordonnées, mais possédant globalement une topologie qui peut être non triviale. Elles sont de ce fait le langage naturel de la géométrie différentielle (riemannienne, symplectique, complexe, etc…), mais aussi de nombreuses théories physiques (relativité générale, théorie de jauge, etc…).
Ce cours a pour objectif de proposer une introduction aux variétés et à quelques-uns des concepts-clés qui leur sont associés : fibrés vectoriels, formes différentielles, et cohomologie de Rham. Il est aussi l'occasion de se familiariser au passage avec quelques outils d'un usage récurrent en mathématiques : topologie des espaces localement compacts, actions de groupes topologiques, produit tensoriel et algèbre extérieure, et quelques bases d'algèbre homologique.
Etant par définition localement modelées sur des espaces vectoriels, les variétés donnent lieu à un élégant formalisme de calcul différentiel, qui permet d’étudier les applications entre variétés en les linéarisant. Il peut être plus surprenant de prime abord que les variétés soient également le cadre naturel d’une riche théorie de l’intégration, où l’on intègre des éléments infinitésimaux de longueur, aire, volume, etc… incarnés par la notion de forme différentielle. Le formalisme associé est ici encore d’une magnifique concision, résumant par exemple d’un seul trait les opérateurs gradient, divergence et rotationnel de la mécanique des fluides et de l’électromagnétisme, et les formules d’intégration par parties qui les accompagnent.
La construction des formes différentielles s’appuie sur le concept tout aussi fructueux de fibré vectoriel, au coeur par exemple de la théorie de jauge. On introduira les bases de cette théorie, consistant à faire de l’algèbre (multi)linéaire sur une famille lisse d’espaces vectoriels.
Enfin, on introduira quelques rudiments de cohomologie de de Rham, qui encode via une machinerie relevant de l’algèbre (linéaire) homologique l’idée que les «trous» d’un espace peuvent être détectés en intégrant autour, et offre un premier contact avec la topologie algébrique.
Niveau requis : Une familiarité avec la première partie du cours MAT431, si elle n'est pas absolument indispensable, est toutefois vivement recommandée.
Bibliographie :
- Lee : Introduction to smooth manifolds
- Milnor : Topology from the differentiable viewpoint.
- Bott et Tu : Differential forms in algebraic topology
Langue du cours : Français ou anglais
Credits ECTS : 5
Differentiable manifolds are geometric objects, locally parametrized by coordinate systems, but with a global topology that can be nontrivial. They are therefore the natural language of differential geometry (Riemannian, symplectic, complex, etc...), and also of many physical theories (general relativity, gauge theory, etc...).
The goal of this course is to provide an introduction to manifolds, and to a number of related key concepts: vector bundles, differential forms, de Rham cohomology.
Being by definition locally modeled on vector spaces, manifolds give rise to an elegant formalism for differential calculus, allowing to study maps between manifolds by linearization. This will lead us to the famous Whitney embedding theorem, showing that "abstract" manifolds are no more general than the more familiar submanifolds of Euclidian space.
Perhaps more surprinsingly, manifolds are also the natural setting for an integration theory of infinitesimal elements of length, area, volume, etc.., embodied in the notion of differential form. The corresponding formalism is here again beautifully concise, summing up in one stroke the classical gradient, divergence and curl operators from fluid mechanics and electromagnetism, and the integration-by-parts formula they satisfy.
The construction of differential forms relies on the similarly fruitful concept of vector bundles, which is for instance at the heart of gauge theory. We will introduce the basics of this theory, which consists in doing (multi)linear alebra on a smooth family of vector spaces.
Finally, we will take a few steps into de Rham cohomology, a device which encodes through (linear) homological algebra the idea that "holes" in a space can be detected by integrating around them, offering a first encounter with algebraic topology.
Required level: A familiarity with the first part of the MAT431 course (of an euclidian space), it is not mandatory but keenly suggested.
Bibliography :
- Lee : Introduction to smooth manifolds
- Milnor : Topology from the differentiable viewpoint.
- Bott et Tu : Differential forms in algebraic topology
Course language: French or English
ECTS credits: 5
- Responsable: Pacard Frank