MAT570 - MAT570 - EA en Mathématiques (2022-2023)

Enseignement d'approfondissement : en relation avec un des cours suivis et sous la direction de l’enseignant concerné, l’élève effectue un travail personnel donnant lieu à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance orale.

Sujets proposés :

- MAT571 (Systèmes dynamiques) : Les sujets seront choisis après discussion et donneront lieu à un bref cours introductif. Voici quelques sujets proposés ou traités les années précédentes:

1. Stabilité des dynamiques hyperboliques et exemples de systèmes robustement instables
2. Orbites homoclines et comportement chaotique en mécanique classique
3. Théorème de Furstenberg: preuve ergodique du théorème combinatoire de Szemerédi
4. Théorème KAM et diffusion d'Arnold: stabilité et instabilité dans les systèmes hamiltoniens
5. Actions de groupes sur le cercle
6. Périodicité et explosions dans les billards
7. Théorème de Ratner pour SL(3,Z) et applications en théorie des nombres
8. Théorème d'Elkies-McMullen: dynamique des réseaux plans et répartition de n1/2 mod 1
9. Dynamique chaotique et évolution d'espaces-temps de Bianchi

Toutes les propositions ayant un composant mathématique significatif, notamment en lien avec d'autres cours (par exemple: théorie du contrôle, probabilités, mécanique,..), sont les bienvenues.
La structure de ces enseignement est souple, le travail personnel sur documents jouant un rôle prépondérant. L'évaluation portera sur la rédaction d’un mémoire détaillé et une soutenance orale permettant de faire la preuve de son esprit synthétique comme de sa capacité à répondre à des questions précises.

- MAT572 (Théorie algébrique des nombres) : Des approfondissements en liaison avec le module seront proposés. Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT573 (Variétés, fibrés vectoriels et formes différentielles) : Exemple de thèmes qui pourraient être traités : Théorie du cobordisme de Thom et classes caractéristiques des espaces fibrés - qui pourraient nous permettre d'exhiber la célèbre "sphère exotique de Milnor", variété de dimension 7, homéomorphe à la sphère standard mais pas difféomorphe.

- MAT574 (Équation d'évolution) : Les techniques introduites dans ce cours sont centrales dans l’étude de nombreux problèmes de physique mathématique au cœur d’un domaine de recherche très actif. Voici quelques exemples d’EA qui pourront être proposés :

• Inégalités de Strichartz et équation des ondes semi-linéaires.
• Dispersion et équation de Schrödinger non-linéaire.
• Solutions de Leray des équations de Navier-Stokes.
• Le théorème de Fujita-Kato pour les équations de Navier-Stokes.

- MAT576 (Groupes, anneaux, modules et représentations) : Des approfondissements seront proposés. Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant. Ils conduiront à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance orale.

• - Dualité de Tannaka pour les groupes finis
• - Représentations des groupes symétriques
• - Représentations des groupes linéaires sur les corps finis
• - Etude des sous-groupes finis des groupes linéaires
• - Algèbres de Hopf et groupes quantiques
• - Cohomologie des groupes

- MAT577 (Topologie algébrique) : Des approfondissements en liaison avec le module seront proposés. Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.


Langue du cours : Français