MAP361 - Aléatoire (2022-2023)

Ce cours introduit les notions de base de la théorie des probabilités, c'est-à-dire l'analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Il insistera en particulier sur les deux notions majeures qui sont les fondements de cette théorie : le conditionnement et la loi des grands nombres. L'enseignement a pour objectif l'acquisition du raisonnement probabiliste et l'apprentissage de la modélisation probabiliste et de la simulation. Cette modélisation est fondamentale dans de nombreux domaines d'applications. Le cours est illustré par des exemples et des expérimentations numériques. Il introduit aussi quelques notions de la théorie de la mesure (qui est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités) et il offre une ouverture vers la statistique.

Pendant cet enseignement, les élèves réaliseront un projet (python) de simulation en binôme, répondront aux questions d'un QCM chaque semaine, et passeront un examen final. Ces éléments seront pris en compte pour la note du module.
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leçon 1 : Exemples de modèles discrets
• espace de probabilité
• probabilité conditionnelle, probabilités totales, formule de Bayes
• événements indépendants
• lemme de Borel-Cantelli
• variables aléatoires sur un espace fini ou dénombrable
• lois discrètes, espérance pour des lois discrètes, fonctions génératrices
• loi et espérance conditionnelle pour des lois discrètes

leçon 2 : Probabilités et variables aléatoires réelles
• tribu borélienne
• mesure, mesure de Lebesgue, probabilité
• variable aléatoire réelle
• fonction de répartition
• variable aléatoire réelle à densité
• lois uniforme, exponentielle, normale
• simulation par inversion de la fonction de répartition

leçon 3 : Espérances de variables aléatoires réelles
• espérance (intégrale de Lebesgue)
• propriété de transfert de l'espérance
• calcul de la loi d'une v.a. réelle par la méthode de la fonction muette (changement de variable)
• variance, inégalités : Markov, Jensen, Bienaymé-Chebyshev
• vecteur aléatoire, loi jointe, lois marginales, Fubini
• vecteur aléatoire à densité

leçon 4 : Vecteurs aléatoires
• loi, espérance, covariance, Cauchy-Schwarz
• vecteurs indépendants
• vecteurs à densité (loi et espérance conditionnelle)
• régression linéaire
• variables indépendantes
• méthode de simulation par rejet

leçon 5 : Calcul de lois
• somme de variables aléatoires indépendantes : variance, produit de convolution
• loi gamma, loi chi2
• calcul de loi par la méthode de la fonction muette en dimension n (changement de variable)
• vecteurs gaussiens non-dégénérés (à densité)
• algorithme de Box-Muller

leçon 6 : Convergences - Loi des grands nombres
• convergence d'une suite de v.a. : presque sure, en probabilité, en moyenne (L1)
• théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, théorème de convergence dominée
• lois des grands nombres : faible, forte
• application statistique : histogramme

leçon 7 : Convergence en loi - Théorème de la limite centrale
• fonction caractéristique, cas d'une somme de v.a. indépendantes
• vecteurs gaussiens
• convergence en loi
• théorème de Lévy, théorème de Slutsky
• théorème de la limite centrale pour des v.a. réelles

leçon 8 : Applications du théorème de la limite centrale : Estimation statistique
• théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires
• méthode delta
• estimation statistique :
• estimateurs empiriques
• méthode des moments
• estimateur du maximum de vraisemblance

leçon 9 : Intervalles de confiance
• intervalles exacts pour le modèle gaussien
• résultats asymptotiques
• applications aux sondages et à la méthode de Monte Carlo

Langue du cours : Français

Crédits ECTS : 5