Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles, qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.
L’objectif du cours est de donner un panorama assez général de l’étude des espaces de Banach et des opérateurs entre espaces de Banach.
Le cours commence par des considérations géométriques : étude des convexes, Théorème de Helly, Théorème de séparation des convexes de Hahn-Banach, Théorème de Krein-Milman.
Puis, il se poursuit par l’étude des théorèmes qui forment le socle de l’analyse fonctionnelle : Lemme de Baire, Théorème de Banach-Steinhaus, Théorème de l’application ouverte et Théorème du graphe fermé.
Nous ouvrons ensuite un chapitre important sur l’étude des topologies faibles et des topologies faibles-∗, ce qui nous amènera à l’énoncé du Théorème de Banach-Alaoglu (qui permet de “récupérer" un peu de compacité dans les espaces de dimension infinie).
Après nous être un peu égarés dans l’étude des espaces de Banach très généraux, nous verrons dans quelle mesure les espaces “réflexifs” et les espaces “séparables” constituent une classe intéressante d’espaces de Banach, car ils jouissent de propriétés agréables.
Le chapitre suivant est consacré à l’étude des algèbres de Banach qui unifient sous une même bannière plusieurs cas particuliers que vous avez peut-être déjà vus (par exemple, l'exponentielle d'une matrice ou d'un endomorphisme). Ce chapitre culmine avec la preuve en trois lignes (mais qui nécessite d’avoir compris les 10 pages précédentes) d’un beau résultat sur les séries de Fourier.
Le cours se termine sur l’étude du spectre des opérateurs avec en particulier l’alternative de Fredholm, le spectre des opérateurs compacts pour terminer avec l’étude des opérateurs de Fredholm, qui généralisent en dimension infinie, les résultats que vous connaissez bien sur les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie.
Langue du cours : Français
Polycopié : Anglais
This course intends to provide the foundations of Functional Analysis having in mind applications to partial differential equations and applications to operator algebras.
The objective of the course is to give a fairly general overview of the study of Banach spaces and operators between Banach spaces.
The course begins with geometric considerations: study of convex sets, Helly's Theorem, Hahn-Banach's convex separation Theorem, Krein-Milman's Theorem.
Then, it continues with the study of theorems which form the basis of functional analysis: Baire's Lemma, Banach-Steinhaus Theorem, Open Mapping Theorem and the Closed Graph Theorem.
We then open an important chapter on the study of weak topologies and weak-∗ topologies, which will lead us to the statement of the Banach-Alaoglu Theorem (which allows us to “recover" some compactness in infinite dimensional spaces ).
After getting a little lost in the study of very general Banach spaces, we will see to what extent “reflexive” spaces and “separable” spaces constitute an interesting class of Banach spaces, since they enjoy pleasant properties.
The next chapter is devoted to the study of Banach algebras which unify under the same banner several special cases that you may have already seen (e.g. exponential of a matrix or a linear map). This chapter culminates with the proof in three lines (but which requires having understood the previous 10 pages!) of a beautiful result on Fourier series.
The course ends with the study of the spectrum of operators with in particular the Fredholm alternative, the study of the spectrum of compact operators to culminate with the study of Fredholm operators, which generalize in infinite dimension, the results that you know well of course linear maps between finite-dimensional vector spaces.
- Responsable: Laurent Camille
- Responsable: Morabito Francesco
- Responsable: Pacard Frank
- Responsable: Prange Christophe