Ce cours introduit des notions fondamentales d’algèbre. Une première partie est consacrée aux groupes finis et à leurs représentations linéaires (sur le corps des complexes). On y démontre les résultats principaux du sujet :
lemme de Schur, théorème de Maschke, théorème de Peter-Weyl, formule de Plancherel, orthogonalité des caractères… Le point de vue adopté est l’utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier.
Dans une seconde partie, on s’intéresse aux anneaux A (non nécessairement commutatifs) et aux modules sur ces anneaux. Nous développons sous certaines hypothèses de finitude, quelques méthodes de classification (suites de composition, étude des extensions, etc). Nous considérons le cas où A est principal et nous en déduisons, par exemple, la classification des groupes abéliens de type fini ou des classes de conjugaison de GL(n,k).
Nous essayons au fil de ce cours d’introduire progressivement et sans formalisme excessif le langage, les concepts et les outils de la théorie des catégories, devenus indispensables à toute présentation avancée de nombreux domaines des mathématiques. La théorie des représentations se prête remarquablement à cette première approche.
Niveau requis : Il est conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).
Langue du cours : Français
This course introduces fundamental algebra notions. A first part is focused on finite groups and their linear representations (on the set of complex numbers). The main results of the subject are demonstrated:
Schur's lemma, Maschke's theorem, Peter-Weyl theorem, Plancherel's formula, character orthogonality... The adopted perspective is the use of convolution and Fourier transform.
In the second part, we study A rings (not necessarly commutative) and modules on these rings. We develop, under some hypothesis, classification methods (composition series, extension study, etc.). We the case A is and deduce, for example, the classification of fintite-type abelian groups or conjugacy class of GL(n,k).
Required level: It is recommended to have basis algebraic objects (linear algebra, groups, rings, set, quotient notion) and particularly to have validated the MAT451 course (Algebra and Galois theory).
Course language: French
- Teaching coordinator: Beuzart-Plessis Raphael