Un espace gaussien (de Hilbert) est un espace vectoriel constitué de variables aléatoires construites à partir de gaussiennes centrées. Ils possèdent une structure riche et constituent le socle de nombreuses théories probabilistes, telles que l'intégration stochastique (par exemple, l'intégration d'Itô). Ces espaces ont un aspect probabiliste mais aussi analytique à travers la théorie des espaces de Hilbert. De fait, il existe souvent une transcription de propriétés d'espaces gaussiens en propriétés d'espaces de Hilbert et vice versa, ce qui donne au point de vue original des espaces gaussiens des répercussions non triviales en analyse. Il existe également un parallèle entre les espaces gaussiens et les objets de la théorie quantique des champs, par exemple les espaces de Fock.
Dans cet EA, on commencera par donner quelques rappels de la théorie de la mesure. On définira ensuite et on donnera les premières propriétés des espaces gaussiens afin d'arriver rapidement au théorème de décomposition en chaos de Wiener, puis au produit de Wick. On présentera par la suite le lien entre les espaces gaussiens et les produits symétriques d'espaces de Hilbert. On traitera enfin d'applications de la notion d'espace gaussien, comme l'intégration stochastique.
Niveau requis
Des éléments d'analyse hilbertienne et de théorie des probabilités aideront à la compréhension des concepts abordés.
Bibliographie
Svante Janson "Gaussian Hilbert Spaces"
- Responsable: Dubach Guillaume