Ce cours introduit des notions fondamentales d’algèbre. Une première partie est consacrée aux groupes finis et à leurs représentations linéaires (sur le corps des complexes). On y démontre les résultats principaux du sujet :
lemme de Schur, théorème de Maschke, théorème de Peter-Weyl, formule de Plancherel, orthogonalité des caractères… Le point de vue adopté est l’utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier.
Dans une seconde partie, on s’intéresse aux anneaux A (non nécessairement commutatifs) et aux modules sur ces anneaux. Nous développons sous certaines hypothèses de finitude, quelques méthodes de classification (suites de composition, étude des extensions, etc). Nous considérons le cas où A est principal et nous en déduisons, par exemple, la classification des groupes abéliens de type fini ou des classes de conjugaison de GL(n,k).
Nous essayons au fil de ce cours d’introduire progressivement et sans formalisme excessif le langage, les concepts et les outils de la théorie des catégories, devenus indispensables à toute présentation avancée de nombreux domaines des mathématiques. La théorie des représentations se prête remarquablement à cette première approche.
Niveau requis : Il est conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).
Langue du cours : Français
- Responsable: Beuzart-Plessis Raphael