Informations du cours

De nos jours de plus en plus d'applications industrielles et/ou fondamentales, souvent à la frontière de plusieurs disciplines (mécanique, biologie, physique) impliquent des écoulements à petite échelle et/ou concernent des fluides à comportement complexe (non newtonien!). Dans le cas d'applications à petite échelle citons par exemple le cas de suspensions de particules (solides, bulles ou gouttes de petites dimensions) dont on souhaite modéliser la rhéologie, l'écoulement d'un liquide newtonien dans un micro-canal, l'écoulement de films liquides, la migration thermocapillaire de bulles et de gouttes... Les rhéologies de fluides complexes sont non newtoniennes et en fait rencontrées dans de nombreux problèmes tels que les écoulements dans les milieux poreux, la modélisation d'une solution de polymères, le comportement d'un milieux granulaire, etc...
Le point communs des situations précédents est qu'il est possible pour ces types d'écoulements de négliger les termes d'inertie (ils sont soient strictement nuls dans le cas des écoulements parallèles soit très faibles dans le cas des écoulements dits de Stokes) dans l'équation de bilan de la quantité de mouvement du milieu continu fluide. Ce cadre simplifié permet alors de proposer des modélisations simplifiées mais pertinentes du comportement de suspensions ou d'écoulements dans les milieux poreux, de la rhéologie de fluides dotés d'une microstructure (suspension de bulles, de gouttes, de particules solides), de la migration thermocapillaire de bulles et de gouttes et ce tant dans le régime newtonien que pour des rhéologies non- newtonienne (fluides à seuil, boues, pâtes, etc...). Le but de ce cours est d'introduire et d'illustrer ces divers comportements et phénomènes.

De manière plus précise, les diverses notions qui sont tout à tour abordées dans ce cours sont les suivantes:

• Introduction avec des exemples empruntés à divers domaines de la physique.
• Viscosité, équations de Navier-Stokes. Approximation de Stokes et propriétés remarquables.
• Particule solide en milieu infini avec ou sans écoulement extérieur. Viscosité d'une solution diluée de sphères solides.
• Ecoulement de Stokes autour d'une bulle, d'une goutte. Viscosité d'une solution de bulles ou de gouttes.
• Ecoulements et migration thermocapillaires. Déplacement et manipulation thermocapillaires de bulles et de gouttes.
• Films minces. Milieux poreux.
• Fluides complexes avec des exemples de rhéologie non newtonienne.
• Condition de glissement de Navier et applications.
• Ouverture (sur deux exemples) vers les méthodes numériques actuelles utilisées avec profit pour

étudier le cas de bulles/gouttes déformables et de particules solides de formes arbitraires.

Niveau requis : Aucun prérequis n'est nécessaire pour suivre cet enseignement qui est construit de manière autonome. Autrement dit, ce cours (ensemble polycopié, amphis, petites classes) est auto-suffisant. De plus, il permet  de complèter judicieusement les connaissances acquises par les élèves qui auraient suivi le  cours MEC432 de Mécanique des Fluides.

Modalités d'évaluation : La note finale du cours est élaborée avec la note d'un  devoir à la maison, la participation en PC (de 0, 1 ou 2 points) et la de l'examen écrit final de 3 heures.

Langue du cours (Amphis et PC) : français

Langue du polycopié de cours: anglais

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Many applications involve flows with a small Reynolds number. For example, one can think about the flow around small particles (here particle is a general word designating a solid body or a bubble or a drop). Moreover, in some cases the fluid rheology is not a newtonian one and new models are needed to describe how the fluid, which is then termed complex, flows when subject to a pressure gradient or/and the gravity. For all those cases the flow Reynolds number is often small compared to unity and one can then neglect the inertial effects. If the fluid is a newtonian one the linear Stokes equations are used instead of the non-linear Navier-Stokes equations to determine the fluid flow. Moreover, at small scales the usual no-slip condition on a boundary might break down and a slip condition is then required to adequately model how the impermeable boundary let the fluid flow tangent to it. This course copes with Low-Reynolds number flows and some related applications.

More precisely, the following issues are addressed:

• Give some examples of flows for which the inertial effects can be neglected.

• Recall the usual Navier-Stokes equations. Approximate those equation by the so-called Stokes equations for a Low-Reynolds-Number flow. Give the basic properties of the linear steady Stokes equations.

• Stokes flow about a solid body subject to the gravity and/or a prescribed ambient steady Stokes flow. Effective viscosity of a dilute suspension of of solid spheres.

• Surface tension and boundary conditions to be imposed at the surface of a bubble or a droplet.

• Examples of Stokes flows about bubbles and droplets.

• Thermocapillary effects and migration of a bubble and of a droplet.

• Thin film and lubrication approximation. Porous medium and Darcy equation.

• Complex fluids exhibiting a non-newtonian behaviour. Examples of such rheology.

• Navier slip boundary conditions and applications.

• Introduction to the efficient boundaty approach to numerically compute Stokes flowsabout several particles.

 

No prerequisite

The course final grade is obtained by combining the homework grade, the PC grade (0, 1 or 2 points) based on the student participation in class and the final written 3-hour exam grade.