Théorie des nombres
La théorie des nombres fascine par la simplicité de ses énoncés et l'imprévisibilité de ses solutions. De fait, la théorie des nombres utilise des techniques provenant de quasiment toutes les branches des mathématiques et il y a presque une branche de la théorie des nombres par branche des mathématiques avec des passerelles (ou des autoroutes) permettant de passer d'une branche à l'autre.
Par exemple, le grand théorème de Fermat (un cube n'est pas somme de deux cubes, et plus généralement une puissance n-ième n'est pas somme de deux puissances n-ièmes), énoncé vers 1650, nécessita pour sa résolution les efforts combinés d'un nombre impressionnant de mathématiciens durant près de quatre siècles. Sa solution définitive en 1994, par les travaux de Ribet, Wiles et Taylor, court sur plus de deux cents pages d'articles de recherche qui eux-mêmes reposent sur quelques milliers de pages empruntés à diverses branches des mathématiques (fonctions d'une variable complexe, théorie des représentations, analyse harmonique, géométrie algébrique...).
Dans la même veine, le problème des nombres congruents (quels sont les nombres entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à cotés de longueur rationnelle) remonte au moins au 10-ième siècle, et il a fallu attendre 1983 pour que Tunnell donne un critère simple pour qu'un nombre ne soit pas congruent et, modulo la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (un des problèmes à un million de dollar), pour qu'il soit congruent.
Dans un genre différent, la répartition des nombres premiers regorge de conjectures en tous genres. Le théorème des nombres premiers (donnant une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers), entrevu par Euler, ne fut démontré qu'en 1896, en utilisant la théorie des fonctions holomorphes et plus spécifiquement les propriétés de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. L'hypothèse de Riemann, formulée en 1858 (un autre problème à un million de dollar), et qui a des conséquences profondes sur la répartition des nombres premiers, a résisté jusqu'à ce jour aux assauts répétés des mathématiciens. Bien malin qui peut prétendre savoir d'où viendra la solution.
Green et Tao ont démontré en 2004 que l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de longueur arbitraire résolvant ainsi une très vieille question. Leur démonstration combine des idées probabilistes et d'autres venant de la théorie ergodique.
On conjecture (conjecture abc) que si a+b=c, où a,b,c sont des nombres entiers premiers entre eux, alors c ne peut pas être beaucoup plus gros que le produit des nombres premiers divisant le produit abc. Une démonstration permettrait de déterminer (en principe) les solutions en nombres rationnels de la plupart des équations en deux variables.
Les attaques actuelles reposent sur la géométrie d'Arakelov qui combine de la théorie algébrique des nombres classique, de la géométrie algébrique et de l'analyse fine sur les variétés.
Les problèmes ci-dessus donnent une petite idée de la diversité des questions qui se posent, mais ne recouvrent pas, loin s'en faut, la totalité des champs abordés par la théorie des nombres (il manque, entre autres, la théorie des nombres transcendants, les questions algorithmiques, les applications à la cryptographie...).
Langue du cours : Français
Number theory
Number theory captivates with the simplicity of its statements and the unpredictability of its solutions. Number theory uses techniques from practically all mathematical divisions and there is almost one division of the number theory per mathematical divisions with gateways (or highways) enabling the transition from a division to another.
For example, the Fermat's Last Theorem (a cube is not the sum of two cubes, and more generally, a n-exponentiation is not the sum of two n-exponent), formulated around 1650, required for its solving the combined efforts of an impressive number of mathematicians for nearly four centuries. Its definitive solving in 1994, through the works of Ribet, Wiles and Taylor, run for more than two hundred pages of articles, which are themselves based on a few thoudand pages borrowed from various branches of mathematics (functions of a complex variable, representation theory, harmonic analysis, algebraic geometry...).
In the same vein, the problem of congruent numbers (which are integer that are the area of a right-angle triangle with sides of rational length) goes back to the 10th century, and it wasn't until 1983 that Tunneli gives a simple criterion for a number not to be congruent and, modulo the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture (one of the Millennium Prize Problems), to make it congruent.
In a different genre, the distribution of prime numbers with all sorts od conjectures. The prime number theorem (giving an asymptotical formula for the number of prime numbers), foreseen by Euler, was demonstrated in 1896, using the holomorphic function theory and more specifically the properties of the Riemann zeta function in the complex plane. The Riemann hypothesis, formulated in 1858 (another Millennium Prize Problems), and with far-reaching consequences on the distribution of prime numbers, has resisted the repeated assaults of mathematicians up to now. Who knows where the solution will come from?
Green and Tao have demonstrated in 2004 that the set of prime numbers includes arithmetic progressions of arbitrary length, thus resolving a very old question. Their demonstration combines probabilistic ideas and other from the ergotic theory.
We conjecture (abc conjecture) that if a+b=c; where a, b, c are integer that are prime to one another, then c cannot be much larger than the product of the prime numbers dividing the product abc. A demonstration could be used to determine (in principle) the solutions in rational numbers of most equations in two variables.
The actual attacks are based on the Arakelov geometry, combining algebraic theory of classic numbers, algebraic geometry and fine analysis on varieties.
The problems above give an insight of the diversity of questions raisde, but does not cover the totality of the fields mentioned by the number theory (is missing, among other things, the transcendental number theory, algorithmical questions, applications to cryptography...).
Course language: French
- Profesor: Stroh Benoît