Les domaines classiques des mathématiques que sont l’analyse harmonique et la théorie des équations aux dérivées partielles, ainsi que certaines branches des probabilités comme l'étude des matrices aléatoires et plus généralement des opérateurs aléatoires, donnent lieu à de très nombreuses applications dans des domaines de plus en plus variés. La plupart des stages proposés sont de nature essentiellement théorique (certains d’entre eux peuvent comporter une part d’expérimentation numérique) mais les phénomènes qu’ils modélisent couvrent un champ scientifique extrêmement vaste. Il s’agit d’une illustration et non pas d’une liste limitative. Dans la plupart des branches de l’Analyse et des probabilités, d’autres sujets peuvent être proposés au cas par cas, en France ou à l’étranger.
Voici quelques exemples de thèmes qui pourront être abordés :
- Equations de la Mécanique quantique :
Il s’agit d’étudier l’équation de Schrödinger dans différents cadres. Par exemple, l’étude des résonances (généralisation de la notion de valeur propre) pour l’équation de Schrödinger linéaire est liée à la recherche d’états métastables. Des équations de Schrödinger non linéaires interviennent en chimie moléculaire. Un large usage de l’analyse fonctionnelle se joint à des méthodes asympotiques de nature plus géométrique.
- Équations des ondes et relativité générale :
La résolution des équations d’Einstein vues comme système d’équations aux dérivées partielles d’évolution pose de redoutables problèmes. Sur des modèles simplifiés de type « équations des ondes », des phénomènes de type dispersif apparaissent. L’un des outils clefs de la compréhension de ces phénomènes est ce que l’on appelle maintenant l’analyse microlocale, branche issue de l’analyse de Fourier dans les années 1970.
- Modeles cinétiques :
Les modèles cinétiques décrivent différents systèmes physiques (gaz, gaz ionises, plasmas...) par une approche statistique au niveau microscopique (moléculaire ou atomique). Ce sont en général des équations aux dérivées partielles avec des termes non locaux, qui posent toute une variété de problèmes importants de la physique mathématique (comme par exemple les questions liées à la vitessse de convergence vers les états d’équilibre, ou encore certains effets dispersifs). L’étude de ces modèles fait appel aux outils traditionnels de l’analyse, avec dans certains cas des interprétations intéressantes du point de vue probabiliste.
- Solitons et étude qualitative des solutions :
La description du comportement en temps grand des solutions de Korteweg de Vries (KdV) et de Schrödinger nonlinéaires est un thème de recherche actif mathématiquement et très important du point de vue physique. Les équations de KdV et de Schrödinger sont considérées comme des modèles universels de systèmes hamiltoniens en dimension infinie et apparaissent dans un très grand nombre de phénomènes physiques. Les solitons sont des solutions particulières de ces équations, de type ondes progressives ou périodiques. Le but du stage est d’abord de comprendre des résultats récents sur l’étude des solutions qui sont dans un voisinage des solitons, et dans un deuxième temps de poursuivre l’étude des solutions qui ont un comportement en temps grand proche de celui des solitons.
- Limites d'opérateurs en dimension infinie :
Les matrices aléatoires sont souvent étudiées en lien avec des opérateurs en dimension infinie; cette heuristique se décline de plusieurs manières, à travers l'étude théorique de la convergence vers des opérateurs aléatoires aux propriétés remarquables (comme le manège brownien), mais aussi par exemple comme toy-model pour l'étude de certaines EDPs (équations de Schrödinger non-linéaires, équation d'onde cinétique).
- Matrices aléatoires et réseaux de neurones
Des résultats récents de matrices aléatoires s'appliquent à l'étude théorique des réseaux de neurones, par exemple l'estimation de la performance d'un réseau de type feed-forward à une couche, via l'étude spectrale d'un opérateur symétrique aléatoire.
- Matrices aléatoires et fonction zêta de Riemann
De multiples liens ont été découverts entre la distribution des valeurs propres de certaines matrices aléatoires et la répartition des zéros non-triviaux de la fonction zêta de Riemann. Ces correspondances très profondes font depuis plusieurs années l'objet d'une recherche active et s'inscrivent dans l'heuristique de Hilbert-Pólya, selon laquelle les zéros non triviaux seraient effectivement les valeurs propres d'un opérateur en dimension infinie.
Exemples de stages effectués les années antérieures :
- Ondelettes et caractérisation des chirps (ENS Cachan).
- Variational problems with 2 phases and their free boundaries (MIT, Cambridge, USA).
- Méthodes topologiques en mécanique des fluides (Cérémade, université Paris IX Dauphine).
- Ondelettes et compression (ENS Cachan).
- Analyse automatique des états veille-sommeil (ENS Cachan).
- Développement asymptotique aux ordres élevés du champ diffracté par un cône semi-infini avec conditions de surface mixtes (CEA, Bruyères-le-Châtel).
- Interfaces dans des problèmes de transitions de phase, (Université Pierre et Marie Curie).
- Inégalités de Carleman et applications (Centre de Mathématiques de l’Ecole polytechnique).
- Ondelettes et approximation non-linéaire (Princeton University, USA).
Langue du cours : Français
The classical fields of mathematics harmonic analysis and theory of partial differential equation lead to many applications in increasingly varied fields. Most of the proposed internships are essentially of a theoretical nature () but the model phenomena cover a very wide scientific field. It is an illustration and not a limitative list. In most of the Analysis sector, other topics can be proposed case-by-case, in France or abroad.
Here are some example of themes that can be covered:
- Equations of Quantum mechanics:
the aim is to study the Schrödinger equation in different settings. For example, the study of resonances () for the linear Schrödinger equation is related to the metastable state research. Non-linear Schrödinger equations intervene in molecular chemistry. A large use of functional analysis joins asymptotic methods with a nature more geometric.
- Wave equations and general relativity:
solving equations as a system of evolutionary partial differential equations raise problems. On simplified models such as "equations of waves", disperive phenomena appear. One of the key tools for understanding these phenomena is what we call microlocale analysis, a sector from the Fourier analysis in the 1970's.
- Kinetic models:
Kinetic models describe different physic systems (gas, ionized gas, plasmas...) through a statistical approach at the microscopic level (molecual or atomic). These are generally partial differential equations with non-local terms, that raise a wide range of major problems of mathematics physics (such as, for example: questions related to convergence speed towards equilibrium states, or some dispertive effects). The study of these models traditional tools of analysis, in some intances with interesting interpretations from the probabilistic perspective.
- Stroke modelisation
The simplified models of geophysical fluids take into account the effects of the Earth's rotation. The understanding of the damping phenomenon and side effects improved recently. Mathematical tools used are the study of parabolical systems and Fourier analysis.
- Geophysics fluid mechanics:
- Solitons and qualitative study of solutions:
The description of the real-time behavior of solutions of Korteweg de Vries (KdV) and non-linear Schrödinger is a mathematically active research topic and very important from a physical pespective. KdV and Schrödinger equations are considered as universal models of Hamiltonian systems in finite dimension and appearing in a very large number of physical phenomena. Solitons are specific solutions of these equations, travelling or periodical waves. The aim of the internship is to understand recent results on the study of solutions that are in a neighbourhood of solitons, and in a second phase continue the study of solutions that have a large-time behavior similar to that of solitons.
Example of internships of the earlier years:
- Wavelets and chirps characterization (ENS Cachan).
- Variational problems with 2 phases and their free boundaries (MIT, Cambridge, USA).
- Topological methods in fluid mechanics (Cérémade, University of Paris IX Dauphine).
- Wavelets and compression (ENS Cachan).
- Automatic analysis of sleep–wake condition (ENS Cachan).
- Asymptotic development at high orders of the field diffracted by a semi-infinite cone with mixed surface conditions (CEA, Bruyères-le-Châtel).
- Interfaces in phase transition problems (Pierre et Marie Curie University).
- Carleman's inequality and applications (Centre de Mathématiques de l’Ecole polytechnique).
- Wavelets and non-linear applications (Princeton University, USA).
Course language: French
- Profesor: Dubach Guillaume