Course info

Le cours Équations d'évolution est une introduction à la résolution des équations aux dérivées partielles d'évolution sous l'angle de la théorie des semi-groupes. Ces équations apparaissent entre autres dans la modélisation de systèmes non-stationnaires issus de la physique (par exemple : mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité) ou de la biologie (réaction-diffusion). Dans de tels contextes, ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration) qui dépendent aussi d’une variable spatiale.

La première question mathématique concerne le caractère bien posé de l'équation : toute configuration initiale donne-t-elle une solution de l’équation ? Quel est le cadre fonctionnel le plus adapté ? Quel sens faut-il donner à une telle solution ? La solution est-elle unique ? Est-t-elle définie pour tout temps, ou au contraire cesse-t-elle d’exister en temps fini ?

Nous présenterons quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semi-groupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons ensuite comment les équations linéaires de la chaleur, des ondes et de Schrödinger entrent dans ce cadre. Pour cela, nous mettrons en œuvre des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés (notamment les espaces de Sobolev). Dans la deuxième partie du cours, nous décrirons une stratégie permettant de résoudre de façon générale des problèmes d’évolution semi-linéaires par point fixe de Banach. Pour les équations de la chaleur et d'onde non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale et d’existence globale. Nous finirons par identifier quelques phénomènes d’explosion en temps fini.

Le polycopié du cours sera en anglais et le cours est susceptible d'être enseigné en anglais selon l'audience.

Plan du cours

Niveau requis

Le seul prérequis est le cours de tronc commun. Il est toutefois utile d'avoir suivi les cours 'Distributions, Analyse de Fourier et EDP' et 'Analyse Fonctionnelle' de deuxième année.

The course of Evolution equations is an introduction to solving evolution partial differential equations from the point of view of semigroup theory. These equations appear among other in the modeling of non-stationary systems from physics (e.g.: fluid machanics, quantum mechanics, electromagnetism, relativity), or biology (reation-diffusion). In such contexts, these equations describe quantity temporal evolution (speed, pressure, wave function, concentration) which also depend of a spatial variable.

The first mathematics question is about the equation's well-posedness: Does every configuration give an solution of the equation? What is the more adapted functional framework? Which sense to such a solution? Is the solution unique? Is it always defined or on the contrary, does it stop to exist in finite time?

We will present some fundamental results of the volution equation theory. About the independent linear equations, we will study the theory of semigroups on Banach's spaces, which provide an general abstract framework responding to the questions above. We will then explain how linear equations of heat, waves and of Schrödinger in this framework. To do this, we'll use abstract functional analysis results and adapted function spaces (). In the second part of the course, we will describe a strategy for the general solutions of semi-linear Banach fixed-point evolution problems. For the heat and non-linear equations, we will shox results of local and global existence. Finally, we will identify some finite-time explosion phenomena.

Lecture notes (in English) are available and the course may be taught in English depending on the audience

Program