La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers», dans les anneaux de la forme où est un «entier algébrique», (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini «le groupe des classes d’idéaux» dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.
Le cas des «entiers quadratiques», c’est à dire des anneaux de la forme de2 is an integer, is historically the most important one, and will be discussed in details. We will see that its arithmetic is related to the problem of classifiying binary integral quadratic forms (Lagrange, Gauss, Dedekind) and to the elementary looking problem of deciding which integers are represented by a given form. For instance, we know since Fermat that if p is a prime with p = 1 mod 4, then p is a sum of two square, or that if p = 1,3,7,9 mod 20, then p is (exclusively) either of the form x2 + 5 y2 or of the form 2 x2 + 2 xy + 3 y2 (Euler, Lagrange). Along the way, we will provide efficient tools to prove this kind of results, including the notion of "genus" of a quadratic form (Lagrange, Gauss), which is the starting point of the famous class field theory.
Bibliography
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84
« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.
« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.
Course language : Français
ECTS credits: 5