Les systèmes dynamiques occupent une place déterminante dans les mathématiques comme dans leurs applications : « il est important de résoudre les équations différentielles » selon la devise secrète de Newton. C’était vrai à la fondation de la mécanique céleste et de la physique moderne, c’est encore le cas aujourd’hui avec l’utilisation de modèles dont l’analyse relève souvent de la théorie des systèmes dynamiques (évolution d’une population, états d’un cristal…).
Si l’analyse fonctionnelle et l’analyse numérique étudient l’existence, l’unicité et les procédés d’approximation des solutions de tels modèles, la théorie des systèmes dynamiques cherche à en établir les propriétés à long terme (par exemple : prévisibilité statistique à long terme malgré l'imprévisibilité à moyen terme).
De façon moins évidente pour le néophyte, les systèmes dynamiques apparaissent également en mathématiques pures. Certains problèmes de géométrie et de théorie des nombres se traduisent ainsi élégamment et fructueusement en questions de dynamique.
L’ambition de ce cours est de présenter les notions de bases de la théorie moderne des systèmes dynamiques en lien avec quelques questions de géométrie et de théorie des nombres.
Programme :
Théorie ergodique :
- théorème de récurrence de Poincaré ;
- notions d’irréductibilité : ergodicité, mélange, Bernoulli ;
- théorèmes ergodiques en moyenne et ponctuel.
- Entropie mesurée ;
Dynamique topologique :
- théorème de récurrence de Birkhoff ;
- notions d’irréductibilité : transitivité, mélange, minimalité ;
- simplexe des mesures invariantes (unique ergodicité) ;
- entropie topologique.
Théorie des nombres :
- développement en base entière et en fraction continue ;
- équirépartition des valeurs de P(n), n décrivant les entiers et P étant un polynôme non constant ayant un coefficient irrationnel ;
- Principe de correspondance de Furstenberg et théorème de Szemerédi.
Dynamique des homéomorphismes du cercle :
- nombre de rotation ;
- théorème et contre-exemple de Denjoy.
Dynamique des automorphismes hyperboliques linéaires du tore :
- sous-décalages de type finis ;
- partition de Markov ;
- entropie.
Niveau requis : Les outils indispensables (en théorie de la mesure notamment) seront brièvement rappelés ou introduits. Une certaine familiarité avec les notions de base de la topologie sera un avantage.
Langue du cours : Français ou anglais selon la demande
Dynamical systems take a place in mathematics as in their applications: "It is useful to solve differential equations." according to the Newton's secret motto. It was true at the celestial mechanics and modern physics fundation, and it is still true today with the use of models which analysis is often from dynamical system theory (population evolution, crystal state...).
If functional analysis and digital analysis study existence, unicity and approximation processes of such model solutions, the dynamical system theory seeks to establish their long term properties (e.g.: long term statistical predictability despite medium term unpredictability).
In a less obvious way for the novice, dynamical systems also appear in pure mathematics. Some problems in geometry and number theory are elegantly and fruitfully translated into questions of dynamic.
The aim of this course is to present basic notions of the modern dynamical system theory linked with some questions in geometry and number theory.
Program
Ergodic theory:
- Poincaré recurrence theorem
- irreductibility notions: ergodicity, mixing, Bernoulli
- average and punctual ergodic theorems
- measured entropy
Topological dynamic:
- Birkhoff recurrence theorem
- irreductibility notions: transitivity, mixing, minimality
- simplex of invariant measures (unique ergodicity)
- tropologic entropy
Number theory:
- development in radix and in continued fraction
- equidistribution of P(n) value, n descirbing integers and P being a non-constant polynomial with an irrational coefficient
- Furstenberg's correspondance principle and Szemerédi's theorem
Dynamic of circle homeomorphisms:
- rotate number
- Denjoy theorem and counterexample
Dynamic of linear hyperbolic automorphisms of torus:
- delay of finite-type
- Markov partition
- entropy
Required level: Essential tools (only in measure theory) will be briefly reviewed or introduced. A familiarity with basic notions of topology will be a plus.
Course language: French or English according to the request
- Teaching coordinator: Burguet David