MAP431 - Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles (2022-2023)

Les équations aux dérivées partielles jouent un rôle fondamental en modélisation de phénomènes complexes dans des domaines aussi variés que la mécanique, la physique ou la biologie. Depuis les années 50 et l'avènement des ordinateurs, le développement et l'utilisation de méthodes numériques permettant le calcul approché sur machine de solutions d'équations aux dérivées partielles sont devenus routiniers dans l'art de l'ingénieur. En mécanique automobile par exemple, les déformations de l'habitacle en cas de choc, mais aussi la climatisation, le bruit ambiant, ou la compatibilité électromagnétique sont, de nos jours, calculés par ordinateur.

Le cours vise à mettre en évidence le lien entre les modèles classiques en mécaniques ou physiques à base d'équations aux dérivées partielles, l'analyse mathématique sous-jacente, et le développement de la méthode des éléments finis. Le fil conducteur se fera par le point de vue variationnel qui permet de réécrire les problèmes sous la forme de problèmes de minimisation, faisant le lien avec l'optimisation. Une assez large part sera consacrée à la mise en oeuvre sur machine de la méthode des éléments finis et à la résolution approchée explicite de certaines équations aux dérivées partielles à l'aide du logiciel FreeFem++.

Le cours est organisé sur 10 semaines. Seront abordés les chapitres suivants:
- Des modèles aux dérivées partielles en mécanique des fluides et des solides.
Problèmes dynamiques et statiques. Le problème de Dirichlet comme problème modèle. Minimisation et principe de Dirichlet.
- Equation d'Euler-Lagrange, Formulations variationnelles. Formule de Green.
- Théorème de représentation de Riesz. Théorème de Lax-Milgram.
Dérivée faible et espaces de Sobolev.
- Formulation variationnelle de problèmes elliptiques. Condition de Dirichlet, de Neumann.
Inégalité de Poincaré.
- Méthode des éléments finis. Approximation interne 1D, et multi D. Assemblage des matrices et des second membres.
Mise en oeuvre en FreeFem++, application en mécanique des fluides et des solides.
- Mise en oeuvre pratique. Résolution de systèmes linéaires. Méthode du gradient conjugué. Conditionnement et préconditionnement. Cas des systèmes non-symétriques.
- Convergence de la méthode des éléments finis.

Par ailleurs une partie des PC illustrera sur ordinateur les concepts vus en cours.

Niveau requis : Aucun.

Modalités d'évaluation : Un examen écrit, une interrogation et un miniprojet obligatoire.