Les surfaces de Riemann sont les espaces sur lesquels on peut définir la notion de fonction holomorphe. Ces objets sont au carrefour de nombreux domaines des mathématiques: la géométrie différentielle (métrique hyperbolique), la théorie des nombres (formes modulaires), les systèmes dynamiques (espaces de Teichmüller), ou la géométrie algébrique (courbes projectives).
Le but de ce cours est de proposer une introduction à divers aspects géométriques des surfaces de Riemann. Nous introduirons aussi les deux notions clef de topologie algebrique que sont les revêtements et le groupe fondamental, et discuterons des applications de cette théorie à l'étude des surfaces de Riemann compactes.
Plan du cours
- Rappels sur les fonctions holomorphes;
- Surfaces de Riemann: définition et exemples;
- Théorie des revêtements et correspondance de Galois;
- Groupe fondamental;
- Théorème de Van Kampen;
- Topologie des surfaces de Riemann compactes;
- Surfaces à petits carreaux.
Bibliographie
Allen Hatcher: Algebraic topology.
Eric Reyssat: Quelques aspects des surfaces de Riemann.
Un polycopié sera de plus distribué au début du cours.
Niveau requis
La connaissance de la notion de variété sera utile mais pas nécessaire. Tous les outils adéquats seront développés durant le cours.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
Riemann surfaces are spaces on which one can naturally define the notion of holomorphic functions. These objects lie at the crossroad of many different fields such as differential geometry (hyperbolic metrics), number theory (modular forms), dynamical systems (Teichmüller spaces) or algebraic geometry (projective curves).
The general aim of the course is to give an introduction to several geometric aspects of Riemann surfaces. We shall also introduce the notion of covering spaces and the fundamental group, and we shall more specifically discuss the case of compact Riemann surfaces.
Plan of the course:
- Refresh on the theory of holomorphic functions;
- Riemann surfaces : definition and first examples;
- Covering theory and Galois correspondence;
- The fundamental group;
- Van Kampen theorem;
- The topology of compact Riemann surfaces.
Bibliography:
Allen Hatcher: Algebraic topology.
Eric Reyssat: Quelques aspects des surfaces de Riemann.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
- Teaching coordinator: Silva Santos Carlos Matheus