Ce cours à pour objet l'étude de deux classes de groupes et certains aspects de leur théorie des représentations. Dans la première partie, nous
étudions les groupes compacts. Outre les groupes finis, cette classe de groupes contient les limites projectives de groupes finis
(qui peuvent apparaître comme groupe de Galois d'extension infinie), et des groupes de matrices comme O(n) ou SU(n).
On généralise la théorie des représentations à ces groupes, en imposant des conditions topologiques (continuité)
pour que leur étude reste possible et pertinente. Le résultat principal de cette partie est le théorème de Peter-Weyl, que nous
abordons via la notion de transformation de Fourier.
Dans la deuxième partie du cours, on étudie les groupes linaires, c'est-à-dire les groupes se réalisant comme groupe de matrices.
L'outil principal ici est le calcul différentiel, qui permet en particulier d'introduire la notion d'algèbre de Lie d'un groupe linéaire.
On introduit aussi du vocabulaire et quelques résultats concernant les algèbres de Lie, indépendants de la théorie des groupes.
On étudie la correspondance entre groupes et algèbre de Lie, les problèmes de connexité et la notion de revêtement de groupes.
Les représentations de dimension finie de ces groupes sont étudiées via l'action de leur algèbre de Lie.
On met en commun ensuite les résultats obtenus pour étudier de manière approfondie la théorie des représentations de certains groupes de Lie linéaires compacts (d'abord SU(2) et SO(3), puis SU(n)).
On obtient aussi le fait que tout groupe compact est limite projective de groupes linéaires compacts.
Les groupes et la théorie de leurs représentations constituent un domaine central des mathématiques, à la fois par les nombreuses et très riches applications (physique, arithmétique, etc), mais aussi par la diversité des outils nécessaires à leur étude (algèbre, topologie, analyse fonctionnelle, langage de la théorie des catégorie).
Pré-requis : théorie des représentations des groupes finis (par exemple MAT556), rudiments de topologie générale et d'analyse fonctionnelle.
Plan indicatif du cours :
1- Groupes topologiques, exemples (groupes profinis, groupes de matrices, etc), et généralités.
2- Groupes localement compacts et compacts. Mesure de Haar, espaces L^p(G)
3 - Représentations des groupes compacts. Transformation de Fourier.
4- Représentations des groupes compacts, suite. Théorème de Peter-Weyl. Théorie des caractères.
5- Groupes linéaires. Applications exponentielle. Algèbre de lie
6- Connexité et correspondance de Lie
7- Homomorphismes et revêtements. Représentation de dimension finie
8- SU(2), SO(3), les harmoniques sphériques
9- SU(n) et le théorème du plus haut poids.
Langue du cours : Français (anglais sur demande d'étudiants non francophones)
Credits ECTS : 5
This course aims to study two classes of groups and
certain aspects of their representation theory.
In the first part, we study compact groups.
In addition to finite groups, this class of groups contains
projective limits of finite groups
(which can appear as a Galois group of infinite extension),
and groups of matrices like O(n) or SU(n).
We generalize representation theory from finite groups
to these groups,by imposing topological conditions
(continuity) so that their study remains possible
and relevant. The main result of this part is
the Peter-Weyl theorem, that we
approach via the Fourier transform.
In the second part of the course, we study linear groups,
that is to say groups realized as groups of matrices.
The main tool here is differential calculus,
which allows in particular to introduce the Lie algebra of
a linear group.
We introduce vocabulary and some results concerning
Lie algebras, independent of group theory.
We study the correspondence between groups and Lie algebra,
connectivity problems and covering of groups.
The finite-dimensional representations of these groups
are studied via the action of their Lie algebra.
We then use the results obtained in the first two parts
to study in depth the representation theory
of certain compact linear Lie groups
(first SU(2) and SO(3), then SU(n)).
We show tthat every compact group is the projective
limit of compact linear groups.
Groups and the theory of their representations
constitute a central field of mathematics,
both through the numerous and very rich applications
(physics, arithmetic, etc.), but also through
the diversity of tools necessary for their study
(algebra, topology, analysis functional,
category theory).
Prerequisites: representation theory of
finite groups (for example MAT556),
rudiments of general topology and functional analysis.
Indicative course plan:
1- Topological groups, examples (profinite groups,
matrix groups, etc.), and generalities.
2- Locally compact and compact groups. Haar measure,
spaces L^p(G)
3 - Representations of compact groups.
Fourier transform.
4- Representations of compact groups, continued.
Peter-Weyl theorem. Character theory.
5- Linear groups. Exponential applications. Lie Algebra
6- Lie correspondence
7- Homomorphisms and coverings.
Finite dimensional representations
8- SU(2), SO(3), spherical harmonics
9- SU(n) and the highest weight theorem.
Langage: French, (english on demand by non french speaking students)
Credits ECTS : 5
- Teaching coordinator: Fresan Javier
- Teaching coordinator: Renard David