Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe. La première partie du cours sera consacrée à la présentation du language des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques. Les propriétés des courbes elliptiques seront étudiées sur différents corps : sur les corps finis, avec le théorème de Hasse qui donne une estimation du nombre de points de ces courbes elliptiques, et sur le corps des nombres rationnels, avec le célèbre théorème de Mordell. L'étude des courbes elliptiques sur les corps finis sera illustrée de quelques applications, à la cryptographie et aux algorithmes de factorisation. Dans le cas du corps des nombres rationnels, quelques exemples concrets où le groupe des points rationnels est déterminable seront étudiés. Le cas des courbes elliptiques sur les nombres complexes sera mentionné mais ne donnera pas lieu à une étude approfondie.
Bibliographie
- 1. J. H. Silverman, Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag, New York, 1986.
- L. C. Washington, Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.
- M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press, 2008.
- J. H. Silverman et J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New York, 1992.
Niveau requis : Il est fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
- Responsable: Izquierdo Diego