Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe. La première partie du cours sera consacrée à la présentation du language des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques. Les propriétés des courbes elliptiques seront étudiées sur différents corps : sur les corps finis, avec le théorème de Hasse qui donne une estimation du nombre de points de ces courbes elliptiques, et sur le corps des nombres rationnels, avec le célèbre théorème de Mordell. L'étude des courbes elliptiques sur les corps finis sera illustrée de quelques applications, à la cryptographie et aux algorithmes de factorisation. Dans le cas du corps des nombres rationnels, quelques exemples concrets où le groupe des points rationnels est déterminable seront étudiés. Le cas des courbes elliptiques sur les nombres complexes sera mentionné mais ne donnera pas lieu à une étude approfondie.

 

Bibliographie

  1. 1. J. H. Silverman, Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag, New York, 1986.
  2. L. C. Washington, Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.
  3. M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press, 2008.
  4. J. H. Silverman et J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New York, 1992.

Niveau requis : Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5




Elliptic curves are algebraic curves defined by a smooth cubic equation. A remarkable property of elliptic curves is the existence of a group law on its set of solutions. Algebraic geometry is a natural framework to study these elliptic curves. In this introductory course, we will begin by discussing classical results from algebraic geometry (like Hilbert’s Nullstellensatz), then we will study some particular cases of plane curves. Elliptic curves and the study of the structure of their groups of solutions will occupy a large part of the course.

For example elliptic curve over finite fields and cryptographic applications will be studied, as well a theorem of Hasse giving an estimation of the number of points of elliptic curves over finite fields. Concerning elliptic curves over the field of rational numbers, we will present a proof of the famous Morfell-Weil theorem as well as concrete examples where we can describe the group of rational points.

Here is a list of subjects which will be discussed in the course :

1. Basic commutative algebra, Hilbert Nullstellensatz, ideals of k[x,y], projective varieties, plane curves and intersection ;

2. Cubic equations and elliptic curves, group law, point counting over finite fields, Hasse theorem, cryptographic applications, elliptic curves over complex numbers, elliptic curves over Q and Mordell-Weil theorem.

Prerequisites : Basic knowledges in algebraic structures (groups, rings, modules, fields) and some elements of algebraic number theory. MAT451 and MAT552 could be useful.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5