La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie est étonnamment plus subtile que celle des matrices hermitiennes en dimension finie. Pourtant, de nombreux problèmes physiques ou mécaniques se ramènent à la résolution d'un problème aux valeurs propres dont l'inconnue est une fonction, ou à une équation aux dérivées partielles linéaire qui peut être étudiée avec des méthodes spectrales. Développée par Hilbert à la fin du 19ème siècle, la théorie spectrale a connu une envolée après la construction de la mécanique quantique et de l'équation de Schrödinger dans les années 1920-30, avec en particulier les travaux de Stone et de Von Neumann. Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.
Contenu du cours :
- auto-adjonction, exemples et contre-exemples
- spectre
- théorie de Rellich-Kato et de Weyl
- formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs
- théorème spectral et calcul fonctionnel
- équation de Schrödinger
- opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène
- propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules, atomes et molécules
Bibliographie
Polycopié en français distribué aux élèves
M. Lewin, Théorie spectrale et mécanique quantique, Série Mathématiques et Applications (SMAI), Springer International Publishing, 2022
B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995
M. Reed, B. Simon, /Methods of Modern Mathematical Physics. Volumes I, II et IV/. Academic Press, 1978.
Niveau requis
- éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions
- des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
In infinite dimension, the spectral theory of self-adjoint operators is much more subtle than for hermitian matrices. Many physical or mechanical practical problems can be formulated as an eigenvalue equation whose unknown is a function, or as a partial differential equation which can be studied with spectral methods.
Developed by Hilbert at the end of the 19th century, spectral theory has really emerged in the 20-30s after the invention of quantum mechanics and of Schrödinger's equation, in particular with works by Stone and von Neumann.
In this course we describe the basic spectral theory of self-adjoint operators in infinite dimension and we apply it to several quantum mechanical systems, including for instance atoms and molecules.
Bibliography
Polycopié en français distribué aux élèves
- Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.
- Reed, B. Simon, /Methods of Modern Mathematical Physics. Volumes I, II et IV/. Academic Press, 1978.
E.H. Lieb, R. Seiringer, /The Stability of Matter in Quantum Mechanics, Cambridge Univ. Press, 2010.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
- Teaching coordinator: Lewin Mathieu