Le cours Équations d'évolution est une introduction à la résolution des équations aux dérivées partielles d'évolution sous l'angle de la théorie des semi-groupes. Ces équations apparaissent entre autres dans la modélisation de systèmes non-stationnaires issus de la physique (par exemple : mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité) ou de la biologie (réaction-diffusion). Dans de tels contextes, ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration) qui dépendent aussi d’une variable spatiale.
La première question mathématique concerne le caractère bien posé de l'équation : toute configuration initiale donne-t-elle une solution de l’équation ? Quel est le cadre fonctionnel le plus adapté ? Quel sens faut-il donner à une telle solution ? La solution est-elle unique ? Est-t-elle définie pour tout temps, ou au contraire cesse-t-elle d’exister en temps fini ?
Nous présenterons quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semi-groupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons ensuite comment les équations linéaires de la chaleur, des ondes et de Schrödinger entrent dans ce cadre. Pour cela, nous mettrons en œuvre des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés (notamment les espaces de Sobolev). Dans la deuxième partie du cours, nous décrirons une stratégie permettant de résoudre de façon générale des problèmes d’évolution semi-linéaires par point fixe de Banach. Pour les équations de la chaleur et d'onde non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale et d’existence globale. Nous finirons par identifier quelques phénomènes d’explosion en temps fini.
Plan du cours
Chapitre 1 : Opérateurs non bornés
Chapitre 2 : Semi-groupes d'opérateurs
Chapitre 3 : Problème de Cauchy abstrait
Chapitre 4 : L'équation de Klein-Gordon non-linéaire
Chapitre 5 : L'équation de la chaleur non-linéaire
Le polycopié du cours sera en anglais et le cours est susceptible d'être enseigné en anglais selon l'audience.
Bibliographie
[1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. Masson, 1992.
[2] N. Burq and P. Gérard, Contrôle optimal des équations aux dérivées partielles. Cours de l'École polytechnique, 2002.
[3] T. Cazenave and A. Haraux, An Introduction to Semilinear Evolution Equations. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 13. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
[4] K.-J. Engel and R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics, 19. Springer-Verlag, New York, 2000.
[5] L. C. Evans, Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics, 19, AMS, 2010.
[6] P. Lévy-Bruhl, Introduction à la théorie spectrale. Cours et exercices corrigés. Dunod, 2003.
[7] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag New York 1983.
Niveau requis
Le seul prérequis est le cours de tronc commun, en particulier l’analyse hilbertienne et la transformation de Fourier. Il est toutefois utile d'avoir suivi le cours Distributions, Analyse de Fourier et EDP et le cours d'Analyse Fonctionnelle de deuxième année.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
