MAP412 - Introduction à l'Analyse Numérique : des fondements mathématiques à l’expérimentation avec Jupyter (2023-2024)

Lorsque l’on souhaite modéliser et simuler un problème réel (qu’il s’agisse de dynamique des populations en écologie, de la croissance tumorale en ingénierie biomédicale, de la dynamique de la combustion dans les nouvelles générations de moteurs fusées – par exemple à SpaceX, de la prédiction des tempêtes solaires et des phénomènes de reconnexion magnétique en physique solaire, de la simulation de la turbulence et de la combustion turbulente en mécanique des fluides) l’ingénieur ou le chercheur en mathématiques appliquées ou en « computational science » doit faire appel à une palette de méthodes numériques qu’il doit savoir analyser mathématiquement, évaluer en termes de qualité et d’efficacité computationnelle et, finalement, implémenter.

Ce cours propose une introduction à l’analyse numérique, partant des fondements mathématiques sur lesquels les méthodes numériques reposent et allant jusqu’à l’implémentation et l’emploi de ces méthodes sur la base de notebooks Jupyter (domaine actif à l'Ecole polytechnique) en passant par la compréhension de leur efficacité numérique, ainsi que leur stabilité en lien avec le conditionnement mathématiques des problèmes posés. Le lien est fait avec les applications afin de comprendre l’étendue de l’utilisation de ce type de méthode d’un point de vue pratique. Les implémentations de ces méthodes dans des bibliothèques numériques existantes sont aussi documentées.

Chaque séance de cours comporte une partie d’analyse des bases mathématiques sur lesquelles une classe de méthode numérique est construite, une partie description et analyse de la méthode numérique (avec une perspective historique). Ces deux aspects sont couverts pendant le cours. La PC propose une reprise et approfondissement de certains concepts du cours, une utilisation de la méthode dans le cadre de notebooks Jupyter et une description d’un travail d’implémentation de la méthode par les élèves dans un notebook à rendre pour le cours suivant.

When you want to design and simulate a real issue (be a question of population dynamism in ecology, tumor growth in biomedical engineering, combustion dynamics in new-generation rocket engines - for example at SpaceX, prediction of solar storms and magnetic reconnection phenomena in solar physics, simulation of turbulence and turbulent combustion in fluid mechanics) the engineer or the researcher in applied mathematics or in "computational science" has to use a range of digital methods and must be able to analyze it mathematically, assess in terms of quality and computational efficacity, and finally, implement.

This course offers an introduction to numerical analysis, starting with the mathematical foundations on which numerical methods are based through to the implementation and the use of these methods on Jupyter notebooks (an active field at the Ecole Polytechnique), including their stability in relation to mathematical conditioning of the problems posed. The link is made with applications to understand the extent to which this type of method can be used from a practical point of view. Implementations of these methods in existing digital libraries are also documented.

Every class sessions include an analysis of the mathematical foundations on which a numerical method class is built, a description and analysis of the digital method (with a historical perspective). Those two aspects are covered during the course. The PC offers a review and an in-depth look at some concepts of the course, use of the method in the context of Jupyter notebooks and a description of how students can implement the method in a notebook to be handed in for the next class session.