La Relativité générale est une des grandes théories physiques développées au cours du XXe siècle à l’instigation d’Albert Einstein. Elle propose une révision radicale de la conception newtonienne de la gravitation en assimilant les effets de cette interaction à des conséquences de la présence de courbure dans l’espace-temps, dont la géométrie est modifiée par les masses. C’est à ce titre qu’elle est exemplaire de l’apport de théories mathématiques élaborées aux problématiques de la physique théorique.

Cette théorie fondamentalement non-linéaire permet une présentation assez complète des outils de la géométrie différentielle moderne avec de spectaculaires et substantielles applications. Comme, sans nuire à la compréhension, il est possible de développer parallèlement les géométries riemannienne et lorentzienne (avec sa signature (-+++) modélisant les cônes de lumière, c’est elle qui sert de cadre à la théorie d’Einstein), ce cours peut attirer des élèves intéressés tant par les mathématiques que par la physique.

Cet enseignement a été conçu comme un enseignement intégré de mathématiques et de physique, ce qui signifie que les élèves sont encouragés à suivre en même temps le cours portant le même nom en physique, soit PHY568.

Voici un plan indicatif du cours :

Cours 1. Variétés différentielles, espace tangent.
Cours 2. Fibré tangent, fibré cotangent, tenseurs.
Cours 3. Dérivée de Lie, dérivée covariante.
Cours 4. Métrique, transport parallèle, géodésiques.
Cours 5. Tenseur de courbure, isométries, métriques conformes.
Cours 6. Symétries de l’espace-temps de Minkowski, formalisme lagrangien de l’électromagnétisme.
Cours 7. Dérivation des équations d’Einstein à partir de l’action d’Einstein-Hilbert.
Cours 8. La géométrie des solutions de Schwarzschild et de Kerr.
Cours 9. Formulation du problème de Cauchy pour les équations d’Einstein.

Bibliographie
-S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer-Verlag Universitext, 2004 (3e édition).
-S.W. Hawking et G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, 1973.
-P. Petersen, Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, 1998.
-R. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, 1984.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5


General Relativity is one of the major physical theories developed in the 20th century from the insight of Albert Einstein. It fundamentally modifies the Newtonian concept of gravitation, and proposes to view the effects of this interaction as resulting from curvature of space-time, the non trivial geometry being the consequence of the presence of masses. It is a prototypical example of how sophisticated mathematical theories can contribute to theoretical physics.

This theory is fundamentally non-linear. As such it allows a rather comprehensive presentation of the tools of modern differential geometry, with spectacular and far-reaching consequences. Since, without making the presentation less natural in any way, it is possible to present at the same time Riemannian and Lorentzian geometries, this course can be attractive for students interested in Mathematics or in Physics.

This unit has been thought through as an integrated course, mixing Mathematics and Physics. Therefore, students are encouraged to follow at the same time the course in Physics with the same name, namely PHY568.

 

Here is a tentative plan of the course:

Lecture 1. Differentiable manifolds, tangent space.

Lecture 2.  Tangent bundle, cotangent bundle, tensors.

Lecture 3.  Lie derivative, Covariant derivative.

Lecture 4.  Metric, parallel transport, geodesics.

Lecture 5.  Curvature tensor, isometries, conformal metrics.

Lecture 6.  Symmetries of Minkowski, Lagrangian formalism of electromagnetism.

Lecture 7. Derivation of Einstein equations from the Einstein-Hilbert action.

Lecture 8. The geometry of the Schwarzschild and of the Kerr solution.

Lecture 9. The Cauchy problem in general relativity.