Les courbes elliptiques, ou encore cubiques planes non singulières, sont des courbes algébriques définies par une équation du type y2 = x3 + ax + b où a et b sont fixés. Une propriété remarquable de ces équations est l'existence d'une loi de groupe sur l'ensemble des solutions. Le cadre naturel pour l'étude des courbes elliptiques est celui de la géométrie algébrique projective. Dans ce cours introductif nous commencerons par discuter quelques résultats classiques (en particulier, le fameux Nullstellensatz de Hilbert), puis nous étudierons quelques cas particuliers et explicites de courbes planes. Une grande partie du cours sera consacrée à l'étude des courbes elliptiques et à la structure de groupe sur l'ensemble E(k) des solutions (x,y) dans un corps k d'une telle équation E. Une partie du cours sera consacrée à l'étude des courbes elliptiques sur les corps finis et à des applications cryptographiques. Nous étudierons par exemple un théorème de Hasse donnant une estimation du nombre de points d'une courbe elliptique sur un corps fini. En ce qui concerne les courbes elliptiques à coefficients rationnels un théorème célèbre, le théorème de Mordell-Weil, décrit la structure du groupe E(Q) : ce groupe est un groupe abélien de type fini. On terminera le cours par la preuve de ce résultat, et on donnera aussi des exemples concrets où l'on peut décrire ce groupe.

 

Les sujets qui seront abordés dans le cours sont les suivants :
1. théorème des zéros de Hilbert et quelques éléments de l’algèbre commutative, idéaux dans k[x; y], variétés projectives, quelques résultats de la géométrie projective,  courbes planes et intersections ;
2. équations cubiques et courbes elliptiques : lois de groupe, estimations pour le nombre des points sur les corps finis, théorème de Hasse, applications cryptographiques ; courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes ; courbes elliptiques sur Q, hauteurs et le théorème de Mordell-Weil.

Pré-requis :

Connaissances des structures fondamentales d'algèbre (groupes, anneaux, modules, corps) et quelques éléments de théorie algébrique des nombres (corps de nombres, anneaux d'entiers), l’idéal serait d’avoir suivi les cours MAT451 et MAT552.


Références :
1. J.H. Silverman, Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag, New York, 1986.
2. L. C. Washington, Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.
3. M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press, 2008.
4. J.H. Silverman et J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New York, 1992.


Niveau requis : Les prérequis : connaissances des structures fondamentales d’algèbre (groupes, anneaux, modules, corps) et quelques éléments de la théorie algébrique des nombres (corps de nombres, l’anneau des entiers, le nombre des classes d’idéaux), l’idéal serait d’avoir suivi les cours MAT451 et MAT552.

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5




Elliptic curves are algebraic curves defined by a smooth cubic equation. A remarkable property of elliptic curves is the existence of a group law on its set of solutions. Algebraic geometry is a natural framework to study these elliptic curves. In this introductory course, we will begin by discussing classical results from algebraic geometry (like Hilbert’s Nullstellensatz), then we will study some particular cases of plane curves. Elliptic curves and the study of the structure of their groups of solutions will occupy a large part of the course.

For example elliptic curve over finite fields and cryptographic applications will be studied, as well a theorem of Hasse giving an estimation of the number of points of elliptic curves over finite fields. Concerning elliptic curves over the field of rational numbers, we will present a proof of the famous Morfell-Weil theorem as well as concrete examples where we can describe the group of rational points.

Here is a list of subjects which will be discussed in the course :

1. Basic commutative algebra, Hilbert Nullstellensatz, ideals of k[x,y], projective varieties, plane curves and intersection ;

2. Cubic equations and elliptic curves, group law, point counting over finite fields, Hasse theorem, cryptographic applications, elliptic curves over complex numbers, elliptic curves over Q and Mordell-Weil theorem.

Prerequisites : Basic knowledges in algebraic structures (groups, rings, modules, fields) and some elements of algebraic number theory. MAT451 and MAT552 could be useful.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5