La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers», dans les anneaux de la forme où est un «entier algébrique», (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini «le groupe des classes d’idéaux» dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.
Le cas des «entiers quadratiques», c’est à dire des anneaux de la forme de avec x de degré 2, est historiquement le plus important et sera étudié en détail. Nous verrons que leur arithmétique est reliée à la classification des formes quadratiques binaires entières (Lagrange, Legendre, Gauss) et à la question élémentaire de décider quels sont les entiers représentés par une forme donnée. Par exemples, nous savons depuis Fermat que tout nombre premier p congru à 1 modulo 4 est somme de deux carrés, ou encore que si p est congru à 1, 3, 7 ou 9 modulo 20 alors p est (exclusivement) soit de la forme , soit de la forme (Euler, Lagrange). Nous développerons au long du cours des outils efficaces pour étudier ce type de question, comme la réduction de Gauss, ou la notion de « genre » des formes quadratiques (Lagrange, Gauss), qui est un point de départ de la fameuse théorie du corps de classes.
Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, formes quadratiques binaires arithmétique des anneaux, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, fonctions L, formules du nombre de classes et du nombre de genre.
Bibliographie
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84
« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.
« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
Algebraic number theory is the study of the arithmetic properties of algebraic numbers. We would like to know, for instance, if the unique factorization of elements as products of "prime elements" holds in the rings of the form Z[x] where x is an algebraic integer (such as the Gaussian integers), or better, in the whole ring of algebraic integers of a number field. This question is important in the study of diophantine equations, the most famous example being Kummer's (and Fermat's ?) approach to Fermat's last theorem, but also in many other questions, such as the theory of integral quadratic forms, the theory of normal forms of endomorphisms with integer coefficients, the theory of complex multiplication... It turns out that the unique factorization property only holds "in the sense of ideals" in general (Kummer, Dedekind), the failure being measured by a finite abelian group called the ideal class group, and whose mysteries are still at the heart of modern number theory.
The case of quadratic integers, that is of Z[x] where x2 is an integer, is historically the most important one, and will be discussed in details. We will see that its arithmetic is related to the problem of classifiying binary integral quadratic forms (Lagrange, Gauss, Dedekind) and to the elementary looking problem of deciding which integers are represented by a given form. For instance, we know since Fermat that if p is a prime with p = 1 mod 4, then p is a sum of two square, or that if p = 1,3,7,9 mod 20, then p is (exclusively) either of the form x2 + 5 y2 or of the form 2 x2 + 2 xy + 3 y2 (Euler, Lagrange). Along the way, we will provide efficient tools to prove this kind of results, including the notion of "genus" of a quadratic form (Lagrange, Gauss), which is the starting point of the famous class field theory.
Contents : quadratic reciprocity law, Minkowski's geometry of numbers, binary quadratic forms, ring arithmetic, number fields, algebraic integers, Dedekind ring, ideal class group, class number formula, genus formula.
Bibliography
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84
« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.
« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.
Langue du cours : Français
Credits ECTS : 5
- Teaching coordinator: Stroh Benoît