La théorie algébrique des nombres est l'étude des propriétés algébro-arithmétiques des nombres algébriques. On s'intéresse notamment à la propriété de factorialité, c'est à dire de "factorisation unique des éléments comme produits d'éléments premiers", dans les anneaux de la forme Z[x] où x est un "entier algébrique", comme par exemple Z[i] (entiers de Gauss), Z[2^{1/3}] etc... Cette question intervient de manière cruciale dans l'étude des équations diophantiennes, l'exemple historique le plus fameux étant l'approche de Kummer (et Fermat?) pour démontrer le "dernier théorème" de Fermat, mais aussi dans de nombreuses autres questions comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorialité ne persiste en général qu'au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que le défaut de factorialité peut être mesuré par un groupe abélien fini "le groupe des classes d'idéaux" dont les mystères sont encore au coeur de l'arithmétique moderne.

Le cas des "entiers quadratiques", c'est à dire de Z[x] avec x^2=d entier, est historiquement le plus important et sera étudié en détail. La théorie contient alors celle des formes quadratiques binaires entières (Lagrange, Legendre, Gauss). Par exemple, il est connu depuis Fermat que si p est un nombre premier avec p = 1 modulo 4, c'est a dire si -1 est un carré modulo p, alors p est somme de deux carrés. Comment expliquer que si -5 est un carré modulo p, c'est a dire p = 1,3,7,9 modulo 20, alors p est exclusivement soit de la forme x^2 + 5 y^2, soit de la forme 2 x^2 + 2 xy + 3 y^2 (avec x,y entiers) ? (Euler, Lagrange). Nous obtiendrons de multiples énoncés de ce type. Cela nous conduira enfin à la notion de "genre" des formes quadratiques (Lagrange, Gauss), point de départ de la fameuse théorie du corps de classes.


Quelques notions abordées : corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d'idéaux, théorème des unités de Dirichlet, formes quadratiques binaires entières, formules du nombre de classes et du nombre de genre.

 

Bibliographie :

- K. Ireland and M. Rosen, Springer, "A Classical Introduction to Modern Number Theory", GTM 84

- David A. Cox., J. Wiley & Sons, "Primes of the form x + ny; Fermat, class field theory, and complex multiplication".

- P. Samuel, Hermann, "Théorie algébrique des nombres".

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5




Algebraic number theory is the study of the arithmetic properties of algebraic numbers. We would like to know, for instance, if the unique factorization of elements as products of "prime elements" holds in the rings of the form Z[x] where x is an algebraic integer (such as the Gaussian integers), or better, in the whole ring of algebraic integers of a number field. This question is important in the study of diophantine equations, the most famous example being Kummer's (and Fermat's ?) approach to Fermat's last theorem, but also in many other questions, such as the theory of integral quadratic forms, the theory of normal forms of endomorphisms with integer coefficients, the theory of complex multiplication... It turns out that the unique factorization property only holds "in the sense of ideals" in general (Kummer, Dedekind), the failure being measured by a finite abelian group called the ideal class group, and whose mysteries are still at the heart of modern number theory.

The case of quadratic integers, that is of Z[x] where x^2 is an integer, is historically the most important one, and will be discussed in details. We will see that its arithmetic is related to the problem of classifiying binary integral quadratic forms (Lagrange, Gauss, Dedekind) and to the elementary looking problem of deciding which integers are represented by a given form. For instance, we know since Fermat that if p is a prime with p = 1 mod 4, then p is a sum of two square, or that if p = 1,3,7,9 mod 20, then p is (exclusively) either of the form x^2 + 5 y^2 or of the form 2 x^2 + 2 xy + 3 y^2 (Euler, Lagrange). Along the way, we will provide efficient tools to prove this kind of results, including the notion of "genus" of a quadratic form (Lagrange, Gauss), which is the starting point of the famous class field theory.


Contents : quadratic reciprocity law, Minkowski's geometry of numbers, binary quadratic forms, ring arithmetic, number fields, algebraic integers, Dedekind ring, ideal class group,  class number formula, genus formula.

Bibliography :

- K. Ireland and M. Rosen, Springer, "A Classical Introduction to Modern Number Theory", GTM 84

- David A. Cox., J. Wiley & Sons, "Primes of the form x + ny; Fermat, class field theory, and complex multiplication".

- P. Samuel, Hermann, "Théorie algébrique des nombres".

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5