Enseignement d'approfondissement : en relation avec un des cours suivis et sous la direction de l’enseignant concerné, l’élève effectue un travail personnel donnant lieu à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT581 (Equation de Schrödinger non linéaire : des condensats de Bose Einstein aux supersolides)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT582 (Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

- MAT583 (Groupes compacts et groupes de Lie)
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique.
Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale."

- MAT585 (Surfaces de Riemann) :
Chaque séance pourra donner lieu à des approfondissements soit côté mathématiques, soit côté physique. Leur structure sera souple, le travail personnel sur documents jouera un rôle prépondérant, éventuellement précédé de quelques cours d'introduction. Ils conduiront à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale.

  • Les surfaces modulaires
  • Le théorème d'uniformisation
  • Le théorème de Belyi
  • Les groupes d'automorphismes des surfaces de Riemann compactes
  • La Jacobienne d'une surface de Riemann compacte
  • Fonctions holomorphes de plusieurs variables



- MAT587 (Transport et diffusion)
* Optimisation de formes et application à un problème de l’énergie nucléaire. Le but de ce projet est l’étude d’une méthode d’optimisation de formes pour un problème de rechargement du combustible dans un réacteur nucléaire. Il s’agit de positionner différents types de combustible nucléaire en quantité fixée pour optimiser le fonctionnement du réacteur. L’originalité de l’approche proposée ici est d’utiliser une méthode d’optimisation de formes basée sur la théorie de l’homogénéisation. Grosso modo, on suppose que les différents types de combustible peuvent se «mélanger» et on optimise leur proportion en tout point. Les calculs (en théorie de la diffusion) seront réalisés avec le logiciel FreeFem++.

* Homogénéisation d’un modèle de diffusion. Le but de ce projet est l’homogénéisation, c’est-à-dire la moyennisation, d’un modèle de diffusion dans un milieu périodique. On étudiera d’abord la stratégie de factorisation dans un milieu purement périodique (en 1-d avec Scilab, éventuellement en 2-d avec FreeFem++), puis on fera des expériences numériques sur le cas, beaucoup plus délicat, de la juxtaposition de deux milieux périodiques. Une application typique est le calcul de criticité d’un réacteur nucléaire.

- MAT588 (Relativité générale)
PHY568 EA : Les élèves suivant le cours de Relativité Générale (MAT568) ont la possibilité de choisir comme EA le cours de physique (PHY568) qui se déroule en parallèle. L’évaluation consistera soit à passer l’examen de PHY568, soit en un travail personnel autour d’un texte scientifique faisant l’objet d’une soutenance orale. Réciproquement, les élèves du PA de Physique suivant le cours de PHY568 peuvent choisir comme EA le cours de MAT568.
Ce cours offre plusieurs directions d’approfondissement : soit dans un cadre purement mathématique, typiquement pour des élèves physiciens qui souhaitent approfondir les aspects mathématiques de certaines questions liées à la théorie de la Relativité Générale ou qui se pose dans son cadre théorique, soit plus en relation avec la physique en explorant diverses généralisations de la théorie qui s'appuient d'ailleurs souvent sur des concepts géométriques qui jouent un rôle important dans le développement de la géométrie différentielle moderne.

  • La rigidité des trous noirs d'après Carter, Robinson et Hawking
  • Les théorèmes de singularité de Hawking-Penrose
  • Les solutions de de Sitter et anti de Sitter
  • La stabilité non linéaire de l'espace-temps de Minkowski
  • La résolution des équations de contrainte
  • Les équations de Yang-mills classiques


Langue du cours : Français