La topologie algébrique s'attache à décrire partiellement la forme d'un espace topologique en lui associant des objets algébriques (nombres, groupes, espaces vectoriels...). Dans ce cours on se concentrera sur le cas des espaces pour lesquels une telle association peut se faire via du calcul différentiel.

 

Voici un exemple de façon dont le calcul différentiel voit la forme globale d'un espace topologique. Le dessin de la cascade d'Escher est une illusion d'optique qui montre un cours d'eau formant une boucle fermée. L'eau s'écoule bien sûr en suivant le gradient de la fonction d'altitude. Localement il n'y a aucune obstruction à construire une fonction d'altitude ayant le gradient prescrit par le dessin mais globalement une telle fonction n'existe pas. Dans ce cours on expliquera comment la topologie du cercle (ou d'un voisinage d'un cercle déformé) permet l'existence de ce phénomène. 

 

Dans la première partie du cours, on étudiera les formes différentielles sur un ouvert d'un espace euclidien en généralisant la notion de gradient d'une fonction et les autres opérateurs différentiels apparaissant en électromagnétisme (divergence et rotationnel). Le phénomène de la cascade d'Escher sera décrit par une algèbre appelée cohomologie de de Rham.

 

L'objectif suivant sera de remplacer les ouverts d'un espace euclidien par les variétés différentielles, des espaces plus généraux qui ne ressemblent que localement à une espace euclidien mais permettent toujours le calcul différentiel. Ces exemples incluent les courbes ou surfaces dans l'espace mais aussi des espaces n'ayant pas de réalisation immédiate comme partie d'un espace euclidien, par exemple l'ensemble des droites du plan (qui se trouve être homéomorphe à un ruban de Möbius).

 

 La théorie des variétés différentielles est un cadre géométrique très utilisé à la fois en mathématiques et en physique, c'est par exemple le cadre de la relativité générale. L'idée de cohomologie est d'une portée encore plus vaste, elle apparaît à la fois en géométrie, en algèbre et en analyse.

 

Bibliographie

- Bott et Tu : Differential forms in algebraic topology

- Lafontaine : Introduction aux variétés différentielles 

- Milnor : Topology from the differentiable viewpoint.


Niveau requis : Une familiarité avec la première partie du cours MAT431 (sous-variétés de R^n), si elle n'est pas absolument indispensable, est toutefois vivement recommandée.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 4

MAT553 Poly 2014-2015.pdfMAT553 Poly 2014-2015.pdf