Ce cours organisé conjointement par les départements de Mathématiques Appliquées et Mathématiques est aussi référencé MAT567.

Le but de ce cours est de présenter des modèles de transport et de diffusion de particules que l'on retrouve dans de nombreux domaines d'applications pertinents sur le plan énergétique. Par exemple, le mécanisme de réaction en chaine dans les réacteurs nucléaires, l'effet de serre en climatologie, le transfert radiatif en thermique ou en astrophysique, certains modèles de dynamique des populations structurées en biologie relevant de cette thématique.

Après une présentation mathématique de ces modèles, on montrera que la diffusion est la limite du transport dans un régime fortement collisionnel, et on expliquera la notion de masse ou de taille critique. On introduira des méthodes de résolution numérique de type différences finies et Monte-Carlo.

 

Niveau requis : Un des 4 cours suivants :

  • MAP411 : Modélisation mathématiques,
  • MAP431 : Analyse numérique et optimisation,
  • MAT431 : Calcul différentiel et fonctions holomorphes
  • MAT432 : Distributions, analyse de Fourier et EDP.

 

Bibliographie :

  • Dautray R., (1989). Méthodes probabilistes pour les équations de la physique, Eyrolles, Paris
  • Dautray R., Lions J.-L., (1988). Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, Masson, Paris
  • Perthame B., (2007). Transport equations in biology, Birkhäuser, Bâle
  • Planchard J. (1995). Méthodes mathématiques en neutronique. Collection de la Direction des Études et Recherches d'EDF, Eyrolles.
  • Pomraning G., (1973). The equations of radiation hydrodynamics, Pergamon Press. Oxford, New-York

 




The goal of this course is to discuss analytical and numerical methods for the particle transport and diffusion models used in applications such as radiative transfer, neutron transport, population dynamics... The quantitative analysis of nuclear chain reactions, of the greenhouse effect in climatology, or of inertial confinement (thermonuclear) fusion, to quote only a few examples, involves this type of mathematical models.

After a mathematical presentation of kinetic models such as the linear transport and Boltzmann equations, we show that, in a highly collisional regime, diffusion can be used as an approximation of the linear Boltzmann equation by a simpler mathematical model, and we discuss the notion of critical size (or mass). 

We also discuss finite difference methods for both the transport and Boltzmann equations, and say a few words about Monte-Carlo methods.

Outline of the course

  • 1 - Introduction, Models and Examples
  • 2 - Linear Transport Theory
  • 3 - The Linear Boltzmann Equation
  • 4 - Diffusion Approximation
  • 5 - Numerical Methods I
  • 6 - Numerical Methods II
  • 7 - Spectral Problem, Critical Size
  • 8 - Criticality, Sensitivity Analysis
  • 9 - Homogenization
  • The evaluation for this course is based on a 2-hour final exam and regular homeworks. Examples of final exams of previous years (in French) are provided below, or can be found on the webpage
     
     

    Instructors: Grégoire Allaire, François Golse, Gaël Raoul.