MAT563 - Groupes compacts et groupes de Lie (2021-2022)

L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale des représentations mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique qu’en physique.

Nous commencerons par étudier la théorie générale des représentations des groupes compacts. Une fois acquise l’existence de la mesure de Haar, cette théorie est complètement parallèle à celle des représentations des groupes finis. En effet, la mesure permet de moyenner des fonctions sur le groupe, phénomène à l’origine de toutes les propriétés agréables des représentations des groupes compacts.

Toutefois, on peut dans certains cas aller beaucoup plus loin et obtenir une classification précise des représentations irréductibles. Nous donnerons l’exemple des deux groupes compacts non abéliens les plus simples, à savoir le groupe spécial unitaire SU2(ℂ) et le groupe spécial orthogonal SO3(ℝ), qui sont presque les mêmes. Nous présenterons des applications à la théorie des représentations des groupes non compacts SL2(ℝ) et SL2(ℂ).

Nous aborderons ensuite la théorie des groupes et des algèbres de Lie comme outil pour la théorie des représentations. Un groupe de Lie n’est autre qu’un groupe de matrices, et son algèbre de Lie est son plan tangent en l’origine. Les algèbres de Lie capturent donc des phénomènes au premier ordre. Permettant de linéariser la théorie des groupes, elles sont omniprésentes en mathématiques et en physique. Nous introduirons surtout du vocabulaire nécessaire pour la suite : caractères et systèmes de racines. Nous définirons enfin les groupes de Lie compacts, comme par exemple SOn(ℝ) et SUn(ℂ), et classifierons complètement leurs représentations irréductibles.

 

 

Bibliographie

[BD] T. Bröcker et T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer.

[D] J. F. Dat, Cours introductif de M2 « Groupes et algèbres de Lie », notes de cours disponibles sur https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GAL/GALM2.pdf

[Ki] A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113.

[Ko] E. Kowalski, An introduction to representation theory, Graduate Studies in Mathematics 155, American Mathematical Society.

[M] F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours disponibles sur http://www.math.toronto.edu/murnaghan/courses/mat1196/rnotes.pdf

[S] M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.

 

 
Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5



This course is the continuation of MAT 556, with a more analytic and geometric flavor. The study of compact matrix groups allows both to illustrate the general theory and to refine it by giving a complete classification of irreducible representations. 
This theory is central as well as in arithmetic (using automorphic representations and the Langlands program) as in physic.
 
The knowledge of of MAT556 is important, and having attended MAT553 could be useful.
 
We will begin by the general theory of representations of compact groups. Once proven the existence of the Haar measure, this theory is completely parallel to the representations of finite groups studied in MAT556. 
 
In certain cases, one can go deeper and precisely classify all the irreducible representations. We will give the example of SU_2 and SO_3, and give applications to the theory of representations of the non compact groups SL_2(R) and SL_2(C). 
 
We will then study Lie groups and algebras, seen as tools for the representation theory. 
 
Finally we will define compact Lie groups, like SO_n and SU_n, and will classify their irreducible representations. If the time allows us, we will end by giving some indications on the theory in the non compact case, where it's far more challenging and is still a research topic.

 

Bibliography :

[BD] T. Bröcker et T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer.

[D] J. F. Dat, Cours introductif de M2 Groupes et Algèbres de Lie, note de cours sur internet (2012).

[Ki] A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113.

[Ko] E. Kowalski, Representation theory, note de cours sur internet.

[M] F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours sur internet.

[S] M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.


Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5