### MAA301 - Measure and Integration (2019-2020)

Prerequisite: MAA202
MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.
Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.

MAA301 is devoted to the modern theory of integration. After first constructing the Lebesgue integral, and explaining how it improves the Riemann integral, a major part of the course will be devoted to discovering the power and ease of use of this tool.

Applications in probability theory will then be briefly described. The course will finally provide an introduction to Lebesgue spaces and the Fourier transform, in order to demonstrate the usefulness of the theory for applications in physics and economics.

### MAA302 - Topology and Differential Calculus (2019-2020)

Prerequisite: MAA202

MAA302 is devoted first to the theory of metric and topological spaces in an abstract setting, including numerous examples of function spaces. We will then shift our focus towards Banach spaces, motivated by applications in optimization. Following this, the course will examine differentiable functions, smooth functions, and their local properties. Restricting our attention to finite dimensional spaces, the course will conclude with an abstract theory of optimization, with applications in economics and physics: optimization without constraints and with constraints, and the well-known Lagrange multiplier theorem will all be studied in detail.

MAA302 is devoted first to the theory of metric and topological spaces in an abstract setting, including numerous examples of function spaces. We will then shift our focus towards Banach spaces, motivated by applications in optimization. Following this, the course will examine differentiable functions, smooth functions, and their local properties. Restricting our attention to finite dimensional spaces, the course will conclude with an abstract theory of optimization, with applications in economics and physics: optimization without constraints and with constraints, and the well-known Lagrange multiplier theorem will all be studied in detail.

### MAA303 - Algebra and Arithmetics (2019-2020)

Prerequisites: MAA203, MAA204

This class examines Markov chains, Poisson processes, renewal processes and pure Markov chains. Starting with the theoretical aspects of process analysis, our lectures will then cover further applications and discuss modeling for issues appearing across various fields.

MAA 305 focuses on general group theory, ring theory and field theory. The first course objective is to describe group actions and geometric applications, as well as the notion of Sylow subgroups. The second part of the course develops general commutative ring theory, looking specifically at applications for the arithmetic of integers. The last aim of the course is to introduce students to the theory of field extensions, and the Galois theory of algebraic equations.

### MAA304 - Asymptotic Statistics (2019-2020)

Prerequisites: MAA206

MAA303 commencera par une récapitulation des convergences des variables aléatoires et des convergences des distributions. Nous  étudierons ensuite les statistiques asymptotiques (propriétés asymptotiques de l'EML, intervalles de confiance asymptotiques, théorie des tests asymptotiques, etc.) et la théorie de l'information statistique (efficacité, théorie de Cramer-Rao, etc.). Nous conclurons ce cours par une rapide introduction aux statistiques bayésiennes.

MAA303 will open with a recap of convergences of random variables and convergences of distributions. The class will then investigate asymptotic statistics (asymptotic properties of MLE, asymptotic confidence intervals, asymptotic test theory etc.) and information theory for statistics (efficiency, Cramer-Rao theory etc.). Finally, students will be given an introduction to Bayesian statistics.

### MAA305 - Probability: Stochastic Processes (2019-2020)

Prerequisites: MAA203, MAA204

MAA304 will open with a recap of convergences of random variables and convergences of distributions. The class will then investigate asymptotic statistics (asymptotic properties of MLE, asymptotic confidence intervals, asymptotic test theory etc.) and information theory for statistics (efficiency, Cramer-Rao theory etc.). Finally, students will be given an introduction to Bayesian statistics.

This class examines Markov chains, Poisson processes, renewal processes and pure Markov chains. Starting with the theoretical aspects of process analysis, our lectures will then cover further applications and discuss modeling for issues appearing across various fields.

### MAT361 - Introduction à l analyse réelle (2019-2020)

Le cours MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique. Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant.

Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en quatre volets successifs :

1. Topologie des espaces vectoriels normés
2. Equations différentielles
3. Compléments d’intégration
4. Espaces de Hilbert et applications.

Tous les sujets ci-dessus présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, notamment). Les quatre volets s’enchaînent de la façon suivante.

On commencera par discuter la topologie dans les espaces métriques, spécialement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.

Les équations différentielles seront abordées sur plusieurs angles complémentaires. Comme application du théorème du point fixe, on donnera la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l’existence locale de solutions. Ensuite, on discutera le prolongement des solutions. Après avoir rappelé quelques méthodes habituelles de résolution explicite, on verra sur des exemples comment décrire globalement des solutions dans des situations où elles ne sont pas déterminées explicitement.

La théorie de la mesure abstraite et de l’intégration aura été vue de façon parallèle dans le cours de Tronc Commun de mathématiques appliquées. Nous rappellerons, dans le vocabulaire de l’analyse, les résultats essentiels de cette théorie. L’intégrabilité au sens de Lebesgue définit de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet sont pertinents.

La dernière partie portera sur l'analyse des espaces de Hilbert. L’analyse de Fourier (séries de Fourier et transformation de Fourier) occupe une large place dans cette partie.

### MAT371 - Analyse réelle et introduction aux méthodes variationnelles (2019-2020)

Le cours de MAT 321 vise à fournir aux élèves un socle de compétences solide en analyse fonctionnelle, ce qui leur ouvrira l'accès à plusieurs domaines scientifiques : mathématiques fondamentales, mathématiques appliquées, mécanique, physique théorique, ...  L'objectif est de donner les bases des théories qui permettront, d'un point de vue pratique, d'aborder avec les armes nécessaires les cours de deuxième et de troisième année dispensés à l'École polytechnique, mais aussi de suivre avec profit ceux de première année.

Nous aborderons dans le cadre de ce cours, des sujets mathématiques importants et assez intimement liés : la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue, la transformation de Fourier, la théorie des espaces de Hilbert et une introduction aux méthodes variationnelles.

Conscient du fait que cours de MAT321 est un cours particulièrement exigeant dont le rythme est très soutenu, j'ai mis en place une série de vidéos en ligne qui, je l'espère, permettront d'accompagner au mieux les élèves et de tenir compte des différences de connaissances des élèves issus des différentes filières.

Chaque vidéo est accompagnée d'une copie des slides utilisées lors du tournage et, le cas échéant, d'autres éléments (notamment des articles) qui pourront vous intéresser.

Quelques points importants :

1. Les vidéos qui sont proposées ne se substituent aucunement aux cours en amphi mais elles viennent les compléter.
2. Les vidéos seront postées en suivant le rythme du cours.
3. Les slides que j'ai utilisées pour le tournage des vidéos contiennent de temps en temps quelques coquilles qui, en général, n'altèrent pas la compréhension du cours. En cas de doute, les coquilles sont a priori toutes corrigées dans les slides en pdf.

Le premier cours concerne les notions de topologie. Pour ce cours, le nombre de vidéos en ligne est particulièrement important : la topologie est un des points durs du cours et les connaissances des élèves en topologie sont variées. J'espère que cette série de cours en vidéo permettra à certains de rafraîchir leurs connaissances (après la parenthèse que constitue la formation humaine et militaire) et et à d'autre de conforter leurs connaissances.

Ce premier cours mis à part, les autres cours ne feront appel qu'à une ou deux vidéos.

J'espère que le contenu de ces vidéos vous sera utile.

Frank Pacard

Langue du cours : Français