Ce cours fait partie du semestre préparatoire destiné aux étudiants recrutés sur la filière FUI et intégrant l'école Polytechnique.

Pendant ce semestre les étudiants suivent deux cours balayant le programme de mathématiques, l'un étant donné par le département de MAP (MAP301) et l'autre par le département de MAT ( MAT301). Ces deux cours sont complémentaires.

Le programme du cours MAP301 est le suivant : fonctions de la variable réelle, suite et séries de fonctions, équations différentielles, probabilités.

Ce cours introduit les notions de base de la théorie des probabilités, c'est-à-dire l'analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Il insistera en particulier sur les deux notions majeures qui sont les fondements de cette théorie : le conditionnement et la loi des grands nombres. L'enseignement a pour objectif l'acquisition du raisonnement probabiliste et l'apprentissage de la modélisation probabiliste et de la simulation. Cette modélisation est fondamentale dans de nombreux domaines d'applications. Le cours est illustré par des exemples et des expérimentations numériques. Il introduit aussi quelques notions de la théorie de la mesure (qui est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités) et il offre une ouverture vers la statistique.

Pendant cet enseignement, les élèves réaliseront un projet de simulation en binôme qui sera pris en compte pour la note du module.

Contenu :

leçon 1 : Exemples de modèles discrets

  • probabilité discrète, loi uniforme et calcul combinatoire
  • probabilité conditionnelle, probabilités totales, formule de Bayes
  • événements indépendants
  • lemme de Borel-Cantelli
  • lois discrètes, espérance, fonctions génératrices
  • loi et espérance conditionnelle pour des lois discrètes

leçon 2 : Probabilités et variables aléatoires réelles

  • tribu, tribu borélienne, probabilité (mesure abstraite), espace de probabilité
  • variable aléatoire réelle (fonction mesurable)
  • fonction de répartition
  • variable aléatoire réelle à densité (intégration et dérivation)
  • lois uniforme, exponentielle, normale
  • simulation par inversion de la fonction de répartition

leçon 3 : Variables aléatoires réelles et vecteurs aléatoires

  • espérance (intégrale de Lebesgue pour la mesure abstraite), variance
  • calcul de la loi d'une v.a. réelle par la méthode de la fonction muette (changement de variable)
  • inégalités : Markov, Jensen, Bienaymé-Chebyshev
  • vecteur aléatoire, loi jointe, lois marginales (Fubini)
  • espérance, covariance, Cauchy-Schwarz

leçon 4 : Vecteurs aléatoires - Lois conditionnelles

  • vecteur aléatoire à densité
  • loi et espérance conditionnelle pour des vecteurs à densité
  • variables indépendantes
  • méthode de simulation par rejet
  • somme de variables aléatoires indépendantes : variance, produit de convolution

leçon 5 : Calcul de lois - Vecteurs gaussiens

  • calcul de la loi par la méthode de la fonction muette en dimension n (changement de variable)
  • algorithme de Box-Muller
  • loi gamma, loi chi2
  • vecteur gaussien
  • régression linéaire

leçon 6 : Convergences - Loi des grands nombres

  • convergence d'une suite de v.a. : en probabilité, en moyenne (L1), presque sure
  • théorème de convergence dominée
  • lois des grands nombres : faible, forte
  • application statistique : histogramme, Glivenko-Cantelli

leçon 7 : Convergence en loi - Théorème de la limite centrale

  • méthode de Monte Carlo
  • convergence en loi : fonction de répartition, théorème de Slutsky
  • fonction caractéristique, cas d'une somme de v.a. indépendantes, théorème de Lévy
  • théorème de la limite centrale pour des v.a. réelles

leçon 8 : Applications du théorème de la limite centrale : Estimation statistique

  • théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires
  • estimation statistique :
  • estimateurs empiriques
  • méthode des moments
  • estimateur du maximum de vraisemblance

leçon 9 : Statistique : Intervalle de confiance – Sondages - Tests

  • intervalles exacts pour le modèle gaussien
  • résultats asymptotiques
  • applications aux sondages et Monte Carlo
  • introduction aux tests d'hypothèses

Langue du cours : Français

Crédits ECTS : 5