Ce cours est un enseignement de base en mathématiques permettant d'acquérir des outils utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie.

Il prépare aussi aux autres cours de mathématiques plus avancés, en particulier ceux du programme d'approfondissement/M1.

La 1ère partie (5 blocs) est consacrée au calcul différentiel et la seconde (3 blocs) à la théorie des fonctions holomorphes.

Cours 1 : Différentielle : définition et propriétés. Théorème des accroissements finis. Différentielles d'ordre supérieur. Hessienne. Extrema locaux.
Cours 2 : Théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites.

Cours 3 : Equations différentielles. Champs de vecteurs et courbes intégrales. Flot.

Cours 4 : Sous-variétés de $\bbR^n$. Calcul différentiel sur les sous-variétés.

Cours 5 : Compléments de calcul différentiel.

Cours 6 : Fonctions holomorphes.

Cours 7 : Théorèmes des résidus. Principe du maximum.

Cours 8 : Applications.


Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Le premier objectif de ce cours est d’approfondir certaines notions mathématiques utiles dans les autres sciences, notamment en analyse de Fourier et analyse spectrale.
Le deuxième objectif est d’introduire quelques techniques élémentaires de résolution de plusieurs équations aux dérivées partielles.
Dans cette optique, les concepts mathématiques abordés dans ce cours sont systématiquement appliqués à l’étude de certaines équations aux dérivées partielles (EDP) universelles issues de la physique mathématique : équation de Laplace, équation de Burger, équation de la chaleur, équation des ondes, équation de Schrödinger.
A partir de ces cas modèles, dont la pertinence physique sera discutée brièvement, nous aborderons quelques notions mathématiques fondamentales dans l'étude des EDP.

Plan du cours :
■ Méthode des caractéristiques ; EDP d’ordre un.
■ Convolution ; équations de Laplace et de Poisson.
■ Rappels sur les espaces de Hilbert ; séries de Fourier ; équation de la chaleur.
■ Transformée de Fourier dans L2 ; EDP linéaires à coefficients constants.
■ Éléments de théorie spectrale ; EDP elliptiques du second ordre.


MAT432 ne peut pas être suivi en même temps que MAT433

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.

Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.

- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.

F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"; polycopié (2010).

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5
La théorie de Galois est née au XIX ème siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynômiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.

L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables.

Au delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).

* les pré-requis :
Algèbre linéaire classique enseigné en classes préparatoires ou pendant deux premières années d'université.

* les acquis attendus en fin de module
Acquis théoriques :

- Connaissance des structures fondamentales de l'algèbre générale.
- Compréhension des concepts fondamentaux de la théorie de Galois (extensions galoisiennes, groupes de Galois)
- Maîtrise des exemples les plus importants (corps finis, extensions cyclotomiques, extensions résolubles).
- Maîtrise des principales applications historiques (résolubilité des équations polynômiales, constructibilité des polygônes réguliers).

Acquis pratiques :

- Manipulation des structures algébriques fondamentales, calcul de degrés d'extensions.
- Détermination du caractère galoisien d'une extension.
- Calcul de groupes de Galois, notamment par réduction modulo p.
- Applications de la théorie, notamment en théorie des nombres et des corps.

* les modalités d'évaluations des acquis du module

Sont envisagés :

- un contrôle classant en fin du cours,
- des projets, par groupes, pendant la durée du cours.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles, qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.

Des considérations de théories des groupes topologiques seront également prises en compte. On reprendra plus en profondeur les propriétés analytiques et géométriques des espaces de Hilbert, de Banach et de leurs généralisations, avant de les mettre en action en théorie de la mesure, théorie spectrale, etc.

Parmi la liste des sujets abordés, voici quelques notions importantes : convexité, points fixes, mesures de Haar, représentations des groupes compacts, opérateurs elliptiques, théorèmes de plongements entre espaces fonctionnels.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5


Premier cours : vendredi 6 avril 2018, 10h30-midi, amphi Carnot.

Cours suivants : les semaines suivantes jusqu'au vendredi 1er juin inclus, avec une interruption le 27 avril (soit 8 cours en tout).

Voir ENEX (emploi du temps et salles) et MOODLE (contenus) pour les détails.

 Équations de Navier-Stokes et fluides tournants

 Daniel Han-Kwan

            Les équations de Navier-Stokes décrivent la dynamique d'un fluide incompressible, visqueux et homogène. Elles forment un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires, qui n'admettent en général pas de solution exacte explicite. L'analyse mathématique du problème de Cauchy, c'est-à-dire l'étude de l'existence de solutions pour une condition initiale donnée est très délicate, et à ce jour le problème d'existence globale de solutions régulières en trois dimensions d'espace est toujours essentiellement ouvert.

 

            Le but de ce MODAL sera en premier lieu d'étudier la contribution pionnière majeure de Jean Leray, qui en 1934 a introduit un cadre fonctionnel adapté et construit des solutions faibles aux équations de Navier-Stokes. Ce sera l'occasion d'aborder divers outils classiques en analyse (compacité forte et faible, injections de Sobolev, etc.) ainsi que plusieurs méthodes de résolution d'équations (méthodes d'approximation, de point fixe, etc.).

            Dans un second temps, l'objectif sera d'étudier l'influence d'une force de rotation (ou force de Coriolis) sur la dynamique d'un fluide tri-dimensionnel. Ce modèle permet la modélisation de l'atmosphère terrestre. 

 

Référence:

J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher, E. Grenier, Mathematical Geophysics.

An introduction to rotating fluids and the NavierÐStokes equations, Clarendon Press, Oxford, 2006.

           

 

 

           

Conjecture de Kadison-Singer et graphes de Ramanujan

Romain Tessera                                                                                                               

La conjecture de Kadison-Singer est un problème vieux de près de soixante ans, issu des fondements de la physique quantique. Après une longue liste d’essais infructueux par certains des plus grands mathématiciens de notre temps (notamment Bourgain), trois informaticiens théoriciens viennent d’en trouver une démonstration étonnamment simple et élégante. Par ailleurs, une série de travaux ont montré, depuis la fin des années 1970, que le problème de Kadison-Singer est équivalent a une série d'énoncés ouverts en algèbre linéaire, en analyse harmonique, en théorie des opérateurs, et en analyse du signal - énoncés qui se retrouvent donc démontrés du même coup.

 

L’objectif de ce modal est de décrypter les idées de cette brillante démonstration, laquelle mêle de manière astucieuse analyse complexe, algèbre linéaire et probabilités. Nous nous pencherons également sur diverses applications de ce résultat majeur, dont un remarquable en théorie des graphes : l’existence de graphes de Ramanujan (ce sont des graphes très « interconnectés »).

 

Ce sera donc une occasion unique de plonger au cœur de la recherche la plus en pointe, sans qu’aucun bagage théorique avancé ne soit nécessaire.

 

Références :

            1. Alain Valette: Séminaire Bourbaki « Le problème de Kadison-Singer » 

            2. P.G. Casazza, M. Fickus, J.C. Tremain et E. Weber, The Kadison-Singer problem in mathematics and engineering : a detailed account.

 

 Langue du cours : Français