Ce cours est une introduction à la simulation numérique et à l'optimisation qui sont des ingrédients indispensables à l'analyse qualitative et quantitative de tous les modèles ou systèmes issus des sciences, de la technologie ou de l'industrie et des services. Le cours est divisé en trois parties.

Les deux premières sont consacrées à l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles qui constituent la grande majorité des modèles physiques.
La première partie porte sur la méthode des différences finies.
La deuxième introduit la notion de formulation variationnelle qui conduit à la méthode des éléments finis que l'on présentera en dimension 1 d'espace par souci de simplicité.
Enfin, la troisième partie est dédiée à l'optimisation et à ses algorithmes numériques de type gradient. Par delà ces aspects techniques, le cours se veut aussi une introduction à la modélisation mathématique qu'il est nécessaire de maîtriser dans tout processus innovant.

Les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de ce cours sont volontairement limités afin de permettre à tous les élèves de le suivre, quelle que soit leur filière d'origine.
Des aspects plus mathématiques seront développés ultérieurement dans le cours MAP 431.

Il n'y a pas de pré requis et le public visé est très large.

Les informations sont mises à jour sur le site personnel des enseignants :

http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/cours_map411.html

Niveau requis : Aucun.

Modalités d'évaluation : Contrôle écrit, devoir maison, projet numérique.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Les équations aux dérivées partielles jouent un rôle fondamental en modélisation de phénomènes complexes dans des domaines aussi variés que la mécanique, la physique ou la biologie. Depuis les années 50 et l'avènement des ordinateurs, le développement et l'utilisation de méthodes numériques permettant le calcul approché sur machine de solutions d'équations aux dérivées partielles sont devenus routiniers dans l'art de l'ingénieur. En mécanique automobile par exemple, les déformations de l'habitacle en cas de choc, mais aussi la climatisation, le bruit ambiant, ou la compatibilité électromagnétique sont, de nos jours, calculés par ordinateur.

Le cours vise à mettre en évidence le lien entre les modèles classiques en mécaniques ou physiques à base d'équations aux dérivées partielles, l'analyse mathématique sous-jacente, et le développement de la méthode des éléments finis. Le fil conducteur se fera par le point de vue variationnel qui permet de réécrire les problèmes sous la forme de problèmes de minimisation, faisant le lien avec l'optimisation. Une assez large part sera consacrée à la mise en oeuvre sur machine de la méthode des éléments finis et à la résolution approchée explicite de certaines équations aux dérivées partielles à l'aide du logiciel FreeFem++.

Le cours est organisé sur 8 semaines. Seront abordés les chapitres suivants:
- Des modèles aux dérivées partielles en mécanique des fluides et des solides.
Problèmes dynamiques et statiques. Le problème de Dirichlet comme problème modèle. Minimisation et principe de Dirichlet.
- Equation d'Euler-Lagrange, Formulations variationnelles. Formule de Green.
- Théorème de représentation de Riesz. Théorème de Lax-Milgram.
Dérivée faible et espaces de Sobolev.
- Formulation variationnelle de problèmes elliptiques. Condition de Dirichlet, de Neumann.
Inégalité de Poincaré.
- Méthode des éléments finis. Approximation interne 1D, et multi D. Assemblage des matrices et des second membres.
Mise en oeuvre en FreeFem++, application en mécanique des fluides et des solides.
- Mise en oeuvre pratique. Résolution de systèmes linéaires. Méthode du gradient conjugué. Conditionnement et préconditionnement. Cas des systèmes non-symétriques.
- Convergence de la méthode des éléments finis.

Par ailleurs une partie des PC illustrera sur ordinateur les concepts vus en cours.

Niveau requis : Aucun. Les élèves ayant suivi MAP411 verront dans MAP431 une continuité assez naturelle.

Modalités d'évaluation : Un examen écrit et un miniprojet obligatoire.

L’aléa joue un rôle déterminant dans des contextes variés et il est souvent nécessaire de le prendre en compte dans de multiples aspects des sciences de l’ingénieur, citons notamment les télécommunications, la reconnaissance de formes ou l’administration des réseaux. Plus généralement, l’aléa intervient aussi en économie (gestion du risque), en médecine (propagation d’une épidémie), en biologie (évolution d’une population) ou en physique statistique (théorie des transitions de phases). Dans les applications, les données observées au cours du temps sont souvent modélisées par des variables aléatoires corrélées dont on aimerait prédire le comportement. L’objet de ce cours est de formaliser ces notions en étudiant deux types de processus aléatoires fondamentaux en théorie des probabilités : les chaînes de Markov et les martingales. Des applications variées seront présentées pour illustrer ces concepts.

Plan du cours :

1 - Définition des chaînes de Markov et premières applications : équation de la chaleur, ruine du joueur, problème de Dirichlet.

2 - Mesures invariantes : définitions, propriétés et exemples.

3 - Classification des états des chaînes de Markov. Application à la dynamique des populations (processus de branchement) et aux graphes aléatoires.

4 - Théorème ergodique et convergence des chaînes de Markov. Application à l'algorithme PageRank de Google.

5 - Algorithme stochastique de Hasting-Metropolis et recuit simulé. Applications en mécanique statistique et au traitement d'images.

6 - Martingales, temps d'arrêt et convergence.

7 - Applications des martingales aux processus de renforcement et à l'algorithme stochastique de Robbins-Monro.

8 - Stratégies, arrêt optimal et théorie du contrôle stochastique.


Référence bibliographique :
"Promenade aléatoire: chaînes de Markhov et martingales", Thierry Bodineau (2013)

Niveau requis : Bonne connaissance du cours de tronc commun MAP311.

Modalités d'évaluation : Un contrôle classant à la fin du cours. Une évaluation de présence et du travail fourni en Petite Classe.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Cet enseignement a trois objectifs. Le premier objectif est de fournir les outils de statistique mathématique permettant de mettre en oeuvre toutes les étapes de la modélisation d'un phénomène concret depuis le choix du modèle probabiliste jusqu'à son estimation et son évaluation. Le deuxième objectif est de décrire, dans le cours et dans les petites classes, des exemples concrets de modélisation dans divers domaines (traitement du signal, économétrie, sciences de l'environnement, etc.). Le troisième objectif est de transmettre, notamment à travers le projet (facultatif), un savoir-faire pratique fondé à la fois sur la maîtrise des outils théoriques et sur leurs applications à partir d'un logiciel informatique comme Scilab.

Programme prévisionnel (en 8 séances de 1h30 chacune)

1. Echantillonnage, fonction de réparition empirique et intervalles de confiance. Test de Kolmogorov-Smirnov. Le point de vue asymptotique et non-asymptotique.

2. Modélisation et expérience statistique. Paramétrisation.

3. Méthodes d'estimation classique en densité et régression paramétrique : substitution, M-estimation, maximum de vraisemblance, modèle linéaire et moindres carrés. Propriétés asymptotiques.

4. Théorie asymptotique paramétrique pour l'estimation. Notion d'efficacité asymptotique et ses limites.

5. Décision statistique et tests. Points de vue non-asymptotique, Neyman-Pearson, p-valeur et lien avec les intervalles de confiance.

6. Tests asymptotiques. Convergence d'un test, vitesse de séparation des hypothèses.
Tests d'adéquations à un modèle paramétrique, test du Chi-deux.

Modalités d'évaluation : Contrôle de connaissances (écrit) et mini-projet facultatif (en binôme)

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Ce cours aborde les modèles dynamiques (équations différentielles). De tels modèles se rencontrent dans de nombreuses situations concrètes: orbites de satellite, navigation, mais aussi en économie. Ils peuvent incorporer des outils déterministes ou aléatoires.

Le cours portera sur l'analyse, l'approximation numérique et le contrôle de tels modèles.

http://cermics.enpc.fr/~ern/MAP434



Langue du cours : Français

Initiation aux Mathématiques Appliquées par la démarche expérimentale

Le but de ce module st de présenter certaines problématiques des équations différentielles ordinaires (EDO) par leurs aspects théoriques et numériques.

Dans un premier temps, on étudiera le comportement asymptotique des EDO à travers des applications à la biologie, à la mécanique et à la rechercher d'algorithmes numériques pour l'algèbre linéaire.

Dans un deuxième temps, on introduira les systèmes dynamiques contrôlés par une approche géométrique. On appliquera ces concepts à la modélisation du vivant (vision, marche humaine) et de questions macroéconomiques (contrats d'assurance) ainsi qu'à l'étude des systèmes à commutations et satures.

Chaque thème comportera un aspect théorique ainsi qu'une mise en oeuvre numérique.

Niveau requis : Les élèves qui désirent suivre ce parcours doivent impérativement avoir suivi aussi le module MAT431 sur les systèmes dynamiques.

Langue du cours : Français

L’enseignement MAP474C poursuit un triple but :

- Compléter des aspects plus théoriques des mathématiques par une démarche expérimentale.
- Mettre en œuvre une méthode numérique originale sur un problème délicat et souvent non-académique.
- Obtenir des résultats numériques qui permettent de critiquer (positivement ou négativement) le modèle et la méthode utilisé(s) par comparaison éventuelle avec des résultats expérimentaux.

De nombreux phénomènes modélisés par des équations aux dérivées partielles sont désormais étudiés couramment dans l’ingénierie et les sciences en général. Ces équations ont récemment vu leur champ d’application se diversifier considérablement, depuis la physique et la mécanique des milieux continus (modèles de fluides ou de solides, évolution de la température,
etc.) jusque dans des domaines plus inattendus comme la finance, l’économie, l’audio-vidéo ou plus technologiques comme par exemple le stockage magnétique de données, le fonctionnement d’afficheurs à cristaux liquides, l’enfouissement de déchets nucléaires, l’évolution des tsunamis ou celle des cendres d’un panache volcanique pour n’en citer que quelques uns. A chaque fois, on trouve au coeur du processus la modélisation du phénomène
par une équation aux dérivées partielles et sa simulation sur ordinateur par une méthode numérique adaptée. L’objectif du MODAL MAP473 est de traiter un exemple d’application au cours duquel on verra la démarche mathématique expérimentale à l’oeuvre. Différents sujets proposés les années précédentes sont exposés à la fin de ce descriptif.

Niveau requis : Les élèves qui souhaitent suivre ce parcours doivent avoir suivi le module MAP411 (Approximation numérique et optimisation). Les élèves ayant suivi et apprécié le cours MAP431 (Analyse variationnelle des équations aux dérivées partielles) verront dans ce MODAL une application très naturelle des notions vues en cours.

Introduction

Les modèles aléatoires sont devenus incontournables tant d’un point de vue théorique que pratique. Les applications concernent la physique, la biologie, la finance et les sciences de l’ingénieur. Après quelques séances sur les techniques de simulation aléatoire, nous approfondirons les méthodes pour l’analyse des évènements rares. Des projets de modélisation et simulation seront proposés, en lien par exemple avec la dynamique des populations, les risques en économie-finance-assurance, la sureté aérienne, les risques naturels ou les réseaux sociaux. 

Les codes de simulation seront écrits en Python, une introduction à Python sera assurée au début de cet enseignement.

Prérequis

Les élèves qui désirent suivre ce parcours doivent avoir suivi soit le module MAP433 (Statistiques), soit le module MAP432 (Modélisation de phénomènes aléatoires).
Le nombre d’étudiants en SNA est limité à 40.


Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5